5.6 Zeitabhängige Schördingergleichung S. 159

Definition:

• $\psi(x,t)$: komplexwertige Wellenfunktion eines Teilchens der Masse m
• V'(x): Potential in dem sich das Teilchen bewegt
• $\vert\psi(x,t)\vert^2 dx$: Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit t in[x..x+dx] zu finden
• Schrödingergleichung
  

  $$i \hbar {\partial \psi(x,t) \over \partial t} = - {\hbar \o... ...} {\partial^2 \psi(x,t) \over \partial x^2} + V'(x) \psi(x,t)$$ (5.56)

  
  
  Erzeuge dimensionslose Form durch
  • skalieren der Zeit und des Ortes mit t₀ bzw. x₀
  • Erfüllung von $\hbar t_0 = 2 m x_0^2$
  • sei $V(x) {t_0 \over \hbar} = V({x \over x_0})$
  • Zeit und Ort in Einheiten von t₀ bzw. x₀ gemessen
  liefert
  

  $$i {\partial \psi(x,t) \over \partial t} = H \psi = \left[ -{\partial^2 \over \partial x^2} + V(x)\right] \psi(x,t)$$ (5.57)

  
  

Lösungsansätze:

1.

Berechne Eigenzustände des stationären Problems und entwickle $\psi(x,0)$ nach diesen Reihenentwicklung für $\psi(x,t)$

2.

direkte Integration der zeitabhängigen Gleichung analog den Solitonen