5.6.4 Ergebnisse

• Relevante Zeitskalen

  1.

  $T = {2 \over \pi} \approx 0.6366$: Welle kehrt in den Ausganszustand zurück (größte Zeitskala)

  2.

  Zeit, die das Teilchen benötigt, um auf Grund seines Impulses den Kasten einmal zu durchlaufen: $t_1 = {1 \over 2k}$

  3.

  Zerfließen des Wellenpaketes: Gaußförmiges Wellenpaket der Breite $\sigma$ hat nach t die Breite $\sigma \sqrt{1 + {t^2 \hbar^2 \over 2 m^2 \sigma^4}}$ Relevante Skala t₂, wenn diese Breite der Kastenbreite entspricht.

  4.

  größte relevante Phasengeschwindigkeit Zur Ermittlung betrachte die Eigenfunktionenentwicklung:
  

  $$\psi(x,t) \sum_{n=1}^\infty c_n e^{-i n^2 \pi^2 t} \sin(n \pi x) = \sum_{n=1}^\infty c_n e^{-i n \pi (n \pi t \pm x)}$$ = (5.81)

  $$2 \int_0^1 \sin(n\pi x) \psi(x,0) dx$$ c_n = (5.82)

  
  

  Phasengeschwindigkeit der nten Teilwelle: $v^{Ph}_n = \pm n \pi$ Bis zu welchem n liefert c_n einen nennenswerten Beitrag?

  Betrachte dazu die fouriertransformierte ( $x \rightarrow k$). Geht man als Ausgangswellenfunktion von einem Gaußpaket aus, so ist dessen Fouriertransformierte wieder ein Gaußpaket, aber mit inverser Breite. Man findet so

  
  

  $$\vert c_n\vert \propto \exp\left(-\einhalb \sigma^2 (n \pi - k^2)\right)$$ (5.83)

  
  

  Kann noch Amplituden von $1 \over 1000$ der Ausgangsamplitude darstellen, so findet man damit als Abschätzung für n ($c_n \propto$ Amplitude):
  

  $$-\einhalb \sigma^2 (n \pi - k^2) \leq \ln({1 \over 1000})$$ (5.84)

  
  

  $n_{max} \approx 35, v^{Ph}_n \approx 100$

  Daraus folgt auch eine Abschätzung für die Schrittweiten dx und dt: $dx \leq 10^{-3}$ $dt \leq {dx \over v^{Ph}_max} = 10^{-5}$

• genauere Abschätzung der Schrittweite:

  Fordert man, daß die Integration mindestens für die Dauer einer Periode korrekt ist, so muß man wie folgt vorgehen.

  • Exakte Zeitentwicklung der Eigenmoden läuft mit dem Faktor $\exp(-i n^2 \pi^2 l dt)$

  • benutzte Näherung (gegeben durch den unitär gewählten Zeitentwicklungsoperator):
    

    $$\left( {1 - i {dt \over 2} n^2 \pi^2 \over 1+ i {dt \over ... ...box{wobei} d\phi = 2 \arctan\left( \halbe{dt} n^2 \pi \right)$$ (5.85)

    
    

  • Betrag der Differenz unter Benutzung der Taylorentwicklung von $d\phi$ liefert $\Delta \approx {1 \over 12} l (dt n^2 \pi^2)^3$

  • Fordere $\Delta < \einhalb$ für $l = {T \over dt}$ und n = n_max $dt \leq 2 \cdot 10^{-6}$