5.6.3 Tridiagonalmatrizen

Zu lösen ist ein Gleichungssystem der Form

$$\psi_{n+1}^{j+1} = a^j \psi_{n+1}^j + b_n^j$$ (5.73)

d. h. a^j ist unabhängig von n, wärend b_n^j sich aus der Wellenfunktion berechnet.

(5.77) kann man schreiben als:

$$\psi_{n+1}^{j+1} = \Omega_n^j - \left( i {2 (dx)^2 \over dt} - (dx)^2 V^j +2 \right) \psi_{n+1}^{j} - \psi_{n+1}^{j-1}$$ (5.74)

und eingesetzt in (5.78) folgt damit

$$\psi_{n+1}^j = {1 \over 2 + dx^2 V^j - i {2 (dx)^2 \over dt} - a^j} \left( \psi_{n+1}^{j-1} + b_n^j - \Omega_n^j\right)$$ (5.75)

Vergleich mit (5.78) wobei j=j-1 ergibt dann Bestimmungsgleichungen für a^j-1 und b^j-1, welche man nach den gesuchten Koeffizienten a^j und b^j auflösen kann. Man findet so

$$2 + (dx)^2 V^j - i {2 (dx)^2 \over dt} - {1 \over a^{j-1}}$$ a^j = (5.76)

$$\Omega_n^j + {b_n^{j-1} \over a^{j-1}}$$ b^j = (5.77)

Zur Lösung sind nötig:

• Anfangszustand
• Randbedingungen: Für ein Teilchen im unendlich hohen Kasten also $\psi_n^0 = 0 = \psi_n^J$ (Rand: x=0 bzw. x=1, Stützpunktezahl: $J=1+{1 \over dx}$)

Einsetzen von j=1 in (5.77) liefert die Startwerte

$$2 + (dx)^2 V^1 - i {2 (dx)^2 \over dt}$$ a¹ = (5.78)

$$\Omega_n^1$$ b¹_n = (5.79)

Berechnung der Wellenfunktion erfolgt ''von hinten'' durch Rückwärtsintegration:

$$\psi_{n+1}^j = {\psi_{n+1}^{j+1} - b_n^j \over a^j}$$ (5.80)

Beachte: Zählindex für Zeitschritte: n, für Ortsschritte: j

konkreter Algorithmus

1.

Wähle Startzustand $\psi_0^j$ $\Omega_0^j$ aus Gleichung (5.77)

2.

Berechne a^j mit dem Startwert aus (5.84)

3.

Für alle Orte j: Berechne b_n^j mit dem Startwert und (5.82)

4.

(5.85) liefert die Wellenfunktion $\psi_{n+1}^j$ für den nächsten Zeitschritt wobei als Startwert die Randbedinung am rechten Kastenende $\psi^J_{n+1} = 0$ dient

5.

mit (5.77) $\Omega_{n+1}^j$

6.

Iteriere Schritt 3 bis 5 für $n=0,1,2,\ldots$