5.6.2 Algorithmus

• Diskretisierung der Wellenfunktion
  

  $$\psi_n^j = \psi(j dx, n dt)$$ (5.65)

  
  
  mit den Schrittweiten dx bzw. dt.

• Zweite Ableitung mit Fehler $\Order(dx^2)$:
  

  $${\partial^2 \psi \over \partial x^2 } \rightarrow {1 \over dx^2} \left( \psi_n^{j+1} - 2\psi_n^j + \psi_n^{j-1} \right)$$ (5.66)

  
  

• Diskretisierung der zweiten Ableitug:

  Beachte: Erhaltung der Gesamtwahrscheinlichkeit! Zeitentwicklungsoperator muß unitär sein (Für die Normierung gilt $1 = \langle a \vert a \rangle \gefordert \langle a \vert T^\dagger T \vert a\rangle$ Erhaltung der Gesamtwahrscheinlichkeit $T^\dagger T \gefordert 1$, d. h. T unitär.)

  Lösung der Schrödingergleichung mit dem Zeitentwicklungsoperator
  

  $$\psi(x, t + dt) = e^{-i H dt} \psi(x,t)$$ (5.67)

  
  

  Schreibt man $e^{-i H dt} \approx 1 - i H dt + \Order(dt^2)$, so ist das nicht unitär, da
  

  $$(1 + i H^\dagger dt) (1-i H dt) = 1 - i H dt + i H^\dagger dt + H^\dagger H dt^2 \neq 1$$ (5.68)

  
  
  Betrachte statt dessen:
  

  $${e^{-i H \halbe{dt}} \over e^{i H \halbe{dt}}}$$ e^{-i H dt} =

  $$\left( 1 + i H \halbe{dt}\right)^{-1} \left( 1 - i H \halbe{dt}\right) + \Order(dt^3)$$ = (5.69)

  
  
  Diskretisierte Zeitentwicklung
  

  $$\psi_{n+1}^j = \left( 1 + i H \halbe{dt}\right)^{-1} \left( 1 - i H \halbe{dt}\right) \psi_n^j$$ (5.70)

  
  

• implizite Differenzengleichung zur Bestimmung der Wellenfunktion
  

  $$\left( 1 + i H \halbe{dt}\right) \psi_{n+1}^j = \left( 1 - i H \halbe{dt}\right) \psi_n^j$$ (5.71)

  
  

• Einsetzen des Hamilton-Operators $H=-{\partial^2 \over \partial x^2} + V(x)$ und Benutzung von (5.76) liefert schließlich eine Gleichung der Form ${\bf T} \vec{\psi}_{n+1} = {\bf \Omega_n}$:
  

  $$\psi_{n+1}^{j+1} + \left( i {2 (dx)^2 \over dt} - (dx)^2 V^j +2 \right) \psi_{n+1}^{j} + \psi_{n+1}^{j-1} =$$

  $$- \psi_n^{j+1} + \left( i {2 (dx)^2 \over dx} + (dx)^2 V^j + 2\right) \psi_n^j - \psi_n^{j-1} = \Omega_n^j$$ (5.72)

  
  
  $\bf T$ hat hierbei Tridiagonalgestalt (Verknüpfung von $\psi_{n+1}^{j+1}, \psi_{n+1}^j, \psi_{n+1}^{j-1}$ mit $\psi_{n}^{j+1}, \psi_{n}^j, \psi_{n}^{j-1}$)