5.6.1 Teilchen im unendlich hohen Kasten

• Potential
  

  $$V(x) = \left\{ \begin{array}{cll} 0 & \mbox{f\uml {u}r} &... ... \einhalb \\ \infty & \mbox{sonst} \\ \end{array} \right.$$ (5.58)

  
  
  Dabei: x in Einheiten der Kastenbreite a und die Energie in Einheiten von ${\hbar^2 \over 2 m a^2}$

• Beachte: Aus dem Potential ergibt sich die Randbedinung! Die Wellenfunktion muß am Potentialrand verschwinden (fest eingespannte Saite).

• Energie E_n der stationären Zustände $\psi_n(x)$:
  

  $$E_n = n^2 \pi^2 \mbox{ mit } n=1,2,3\ldots$$ (5.59)

  $$\psi_n(x) = \left\{ \begin{array}{cl} \sqrt{2} \cos(n\pi x) & \mbox{... ...{f\uml {u}r $n$\ gerade}\\ \end{array} \right., -\einhalb \leq x \leq \einhalb$$ (5.60)

  
  
  stehende Wellen, deren Betrag sich wie der mittlere Ort des Teilchens zeitlich nicht ändert

• im Kasten hin- und herlaufendes Wellenpaket (d. h. überlagerung von Sinus-Wellen, die nicht notwendigerweise die eine Wellenlänger mit vielfachen der Kastenbreite haben) Entwicklung in Eigenfunktionen der stationären Zustände:
  

  $$\psi(x,t) \underbrace{\sum_{m=1}^{\infty} \overbrace{c_{2m-1}}^{\mbox{\tiny... ...\ \ \overbrace{\cos((2m-1) \pi x)}^{\mbox{\tiny Wellenfunktion}}}_{\psi_u(x,t)}$$ =

  $$\underbrace{\sum_{m=1}^{\infty} c_{2m} \exp{(-i \pi^2 (2m)^2)t} \sin(2m \pi x)}_{\psi_g(x,t)}$$ + (5.61)

  
  
  Symmetrie der Basisfunktionen führt zur Zerlegung in geraden und ungeraden Teil.

• Jede Eigenfunktion ist eine überlagerung unendlich vieler stehender Wellen , wobei sich bei jeder der Phasenfaktor mit anderer Geschwindigkeit entwickelt Interferenz

• Besonderheit der Energien: Jede Frequenz $\omega_n = n^2 \pi^2$ ist ein Vielfaches der Grundfrequenz $\omega_1 = \pi^2$
  
  

• Beachte: für die Phasenfaktoren
  

  $$\exp{(-i \pi (2m-1)^2 )}$$ = -1 (5.62)

  $$\exp{(-i \pi (2m)^2}$$ = +1 (5.63)

  $$\exp{(-i \pi {(2m-1)^2 \over 2} )}$$ = -i (5.64) etc.