5.5.1 Algorithmus

Betrachte zunächst eine einfache Diskretisierung:

• u_n^j = u(j dx, n dt), d.h. j Punkte in x, n Punkte in t-Richtung als ''Gitter''
• Vorwärts-2-Punkt-Formel:
  

  $$f'(x_k) = {f(x_k+h) - f(x_k) \over h}$$ (5.51)

  
  
  als Näherung für die partiellen Ableitungen. (Für u_xxx drei mal interieren)
• zu lösende Gleichung
  

  $$u_{n+1}^j = u_n^j + dt \left( 6 u_n^j {u_n^{j+1} - u_n^j \... ...j+3} - 3u_n^{j+2} + 3 u_n^{j+1} - u_n^j \over (dx)^3}\right)$$ (5.52)

  
  

Problem: Schlechte Lösung, da Solitonen nicht stabil sind, wenn sie sich durchdringen, d.h. schon nach wenigen Zeitschritten ''explodiert'' die Lösung.

Fehlerursachen

1.

Schlechte Darstellung der Ableitungen

Analog zum Vorgehen beim Numerov-Verfahren kann man die erste Ableitung besser Darstellen. Betrachte dazu die Taylorreihe

$$u_{\pm 1} = u_0 \pm dx u_0' + {(dx)^2 \over 2} u_0'' \pm {(dx)^3 \over 6} u_0''' + \cdots$$ (5.53)

Bildet man nun u₁ - u_-1 so findet man

$$u_0' = {u_1 - u_{-1} \over 2 dx} - {(dx)^2 \over 6} u_0''' + \cdots$$ (5.54)

d. h. mit einem Fehler $\Order((dx)^3)$ statt wie üblich $\Order((dx)^2)$ bei Approximation mit $u'_0 = {u_1 - u_0 \over dx}$. Analog kann man für höhere Ableitungen verfahren, und so den Fehler bei geeigneter Wahl der Koeffizienten minimieren. Man gewinnt so eine Größenordnung!

2.

Keine Mittelwertbildung. Diese würde den Algorithmus stabilisieren

Man verwende hierzu statt ${\partial u \over \partial t} = {u^j_{n+1} - u_n^j \over dt}$ besser den Mittelwert, den man durch die Substitution

$$u_n^j \rightarrow \einhalb \left( u_n^{j+1} + u_n^{j-1} \right)$$ (5.55)

erhält.

Unterschied zur genaueren Ableitung wie bei 1.???

3.

dx muß relativ groß gegen dt gewählt werden

Definition: Courant-Bedingung

Störungen bleiben nur dann stabil, wenn der Zeitschritt dt kleiner als der Ausbreitungsschritt $dx \over \vert v\vert$ ist.

Beachte: Nach der symmetrischen Diskretisierung enthält die Gleichung nun drei Zeitschritte, d. h. für die Berechnung der Zukunft (n+1) muß man Gegenwart n und Vergangenheit n-1 kennen. der erste Schritt (hier ist nur die Gegenwart bekannt!) muß nach der einfachen Formel erfolgen, die weiteren dann mit den beiden symmetrischen Diskretisierungen

Beachte: Man kann den Fehler der numerischen Approximation durch verkleinern der Schrittweite reduzieren. Dabei wächst der Aufwand für die Berechnung in x-Richtung mit $1 \over dx$. Aus Stabilitätsgründen muß aber dt $\propto {dx}^3$ verkleinert werden!