5.5 Solitonen S. 150

Definition: Soliton

Solitonen sind Wellenlösungen der Kortweg-de Vries-Gleichung

$${\partial \over \partial t} u(x,t) = 6 {\partial \over \partial x} u(x,t) - {\partial^3 \over \partial x^3} u(x,t)$$ (5.48)

Wobei t > 0 und $-\infty < x < \infty$ ist. Diese Gleichung beschreibt z. B. die Auslenkung u(x,t) bei Wasserwellen in seichten Kanälen

Eigenschaften

• Durchdringen einander, ohne daß sich die Form ändert
• Ausbreitungsgeschwindigkeit ist amplitudenabhängig: Solitonen mit höherer Amplitude laufen schneller als solche mit niedriger Amplitude
• Bei und nach der Durchdringung ändern sich die Geschwindigkeiten der beteiligten Solitonen nicht
• Nichtlineare Gleichung: Der Term $u {\partial \over \partial x} u(x,t)$ gibt bei doppelter Auslenkung einen vierfachen Beitrag
• überholt ein schnelles Soliton (mit großer Amplitude) ein kleines, so wird wärend des überholvorgangs das kleine Soliton gebremst, und das große beschleunigt.

Solitonenlösung der Kortweg-de Vries-Gleichung (5.51)

$$u(x,t) = -2 \mathrm{sech}^2 (x-4t) = -2 {1 \over \cosh(x-4t)}$$ (5.49)

Beschreibt ein Wellental, daß sich mit v=4 nach rechts bewegt.

Multisolitonenlösung

Betrachtet man als Anfangszustand

u(x,0) = -N (N+1) sech²(x) (5.50)

so entstehen daraus N Solitonen, die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten fortbewegen. Die Lösungen kann man z. B. über ein inverses Streuproblem finden. (S. z.B. Baumann: ''Mathematica in der Theoretischen Physik'' Kap. 5). Auch die Schrödingergleichung mit dem Pöschl-Teller-Potential V(x)=-N(N+1) sech²(x) besitzt N Solitonenlösungen.