2.2.2 Herleitung der absoluten Temperatur

Gegeben sei ein beliebiges Thermometer, das f�r h”here Temperaturen $\vartheta_{2}^{}$ > $\vartheta_{1}^{}$ auf irgendeine Art anzeigt.

• Betrachte zwei hintereinander geschaltete Carnot-Maschinen
• F�r den Wirkungsgrad gilt jeweils nach Carnot

  $$\eta {Q_b \over Q_a} \vartheta_{a}^{} \vartheta_{b}^{}$$ (12)

• Die erste arbeite zwischen $\vartheta_{1}^{}$ und $\vartheta_{2}^{}$, entnimmt also die W„rme Q₁ und gibt Q₂ ab f ($\vartheta_{1}^{}$,$\vartheta_{2}^{}$) = ${Q_2 \over Q_1}$
• Die zweite arbeite zwischen $\vartheta_{2}^{}$ und $\vartheta_{3}^{}$, entnimmt also die W„rme Q₂ und gibt Q₃ ab f ($\vartheta_{2}^{}$,$\vartheta_{3}^{}$) = ${Q_3 \over Q_2}$
• Folgerungen:
  
  
• Da ${Q_3 \over Q_1}$ = ${Q_3 \over Q_2}$${Q_2 \over Q_1}$ f ($\vartheta_{1}^{}$,$\vartheta_{3}^{}$) = f ($\vartheta_{1}^{}$,$\vartheta_{2}^{}$)f ($\vartheta_{2}^{}$,$\vartheta_{3}^{}$)
• Logarithmieren und partielle Differentiation nach $\vartheta_{1}^{}$ liefert eine Gleichung, die nur erf�llbar ist, wenn

  $$\vartheta_{a}^{} \vartheta_{b}^{} \vartheta_{a}^{} \vartheta_{b}^{}$$ (13)

  ist: ${\partial \over \partial \vartheta_1}$ln(f ($\vartheta_{1}^{}$,$\vartheta_{3}^{}$)) = ${\partial \over \partial \vartheta_1}$ln(f ($\vartheta_{1}^{}$,$\vartheta_{2}^{}$))
• Aufl”sen liefert: f ($\vartheta_{a}^{}$,$\vartheta_{b}^{}$) = ${b(\vartheta_b) \over b(\vartheta_a)}$
• Damit f�r den Carnot-Wirkungsgrad:

  $$\eta_{1,2}^{} \vartheta_{1}^{} \vartheta_{2}^{} {b(\vartheta_1) - b(\vartheta_2) \over b(\vartheta_1)} {T_1 - T_2 \over T_1}$$ (14)

  T heiát absolute Temperatur. Die Funktion b($\vartheta$) muá man durch Messung bestimmen. Z. B. durch Ermittlung des Wirkungsgrades bei Festlegung einer bestimmten Temperatur und eines Intervalls (z. B. angleichung an die Celsius-Skala).
• Den Absoluten Nullpunkt bestimmt man aus dem Wirkungsgrad durch die Vorgabe $\eta$ = 1 f�r T₂ = 0K