7.3 Joule-Thompson-Prozess

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7.3 Joule-Thompson-Prozess

Irreversible Expansion eines Gases ohne Arbeitsleistung und W„rmeaustausch. Die Enthalpie bleibt dabei erhalten beim realen Gas: i. d. R. Abkhlung

Gas unter dem Druck p₁ str”mt durch eine Drossel in das Volumen V mit dem Druck p₂
Aufgebrachte Arbeit: - p₁dV₁
vom Gas geleistete Arbeit: - p₂dV₂
Žnderung der inneren Energie:

U₂ - U₁ = $\displaystyle \int$ $\displaystyle \delta$ W = $\displaystyle \int_{V_1}^{0}$ p₁dV₁ + $\displaystyle \int_{0}^{V_2}$ p₂dV₂ = p₁V₁ - p₂V₂ (132)
d. h. die Enthalpie ist erhalten:

H₁ = U₁ + p₁V₁ = U₂ + p₂V₂ = H₂ (133)
Berechnung von T:
- Betrachte differentiellen Prozess: p₂ - p₁ = dp, T₂ - T₁ = dT
- dH(S, p) = TdS + Vdp = 0
- Umformung von dS mit thermodynamischer Relation
  
  $\displaystyle \left(\vphantom{ {\partial S \over \partial p}}\right.$ $\displaystyle {\partial S \over \partial p}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {\partial S \over \partial p}}\right)_{T}^{}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{ {\partial V \over \partial T}}\right.$ $\displaystyle {\partial V \over \partial T}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {\partial V \over \partial T}}\right)_{p}^{}$ (134)
  
  $\displaystyle \folgt$ dS(T, p) = $\displaystyle \left(\vphantom{ {\partial S \over \partial T}}\right.$ $\displaystyle {\partial S \over \partial T}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {\partial S \over \partial T}}\right)_{p}^{}$ dT + $\displaystyle \left(\vphantom{ {\partial S \over \partial p}}\right.$ $\displaystyle {\partial S \over \partial p}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {\partial S \over \partial p}}\right)_{T}^{}$ dp (135)
- Beachte dS = ${\delta Q \over T}$
  
  dS(T, p) = $\displaystyle {1 \over C_p}$ dT - $\displaystyle \left(\vphantom{ {\partial V \over \partial T}}\right.$ $\displaystyle {\partial V \over \partial T}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {\partial V \over \partial T}}\right)_{p}^{}$ dp (136)
- Mit isobarer Ausdehnungskoeffizient $\alpha$ = ${1 \over V}$ $\left(\vphantom{ {\partial V \over \partial T}}\right.$ ${\partial V \over \partial T}$ $\left.\vphantom{ {\partial V \over \partial T}}\right)_{p}^{}$
- wird die Enthalpie„nderung
  
  dH = TdS + Vdp = C_pdT + (- $\displaystyle \alpha$ VT + V)dp (137)
- Temperatur„nderung
  
  $\displaystyle \left(\vphantom{ {dT \over dp}}\right.$ $\displaystyle {dT \over dp}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {dT \over dp}}\right)$ = $\displaystyle {V T \over C_p}$ $\displaystyle \left(\vphantom{ \alpha - {1 \over T}}\right.$ $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle {1 \over T}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \alpha - {1 \over T}}\right)$ (138)
Anwendung auf das van-der-Waals-Gas fhrt zur Inversionstemperatur

T_i = $\displaystyle {2 a \over R b}$ (139)
Temperatur„nderung:

$\displaystyle \left(\vphantom{ {dT \over dp}}\right.$ $\displaystyle {dT \over dp}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {dT \over dp}}\right)$ $\displaystyle \approx$ - $\displaystyle {b \over C_p}$ $\displaystyle \left(\vphantom{ 1 - {T_i \over T}}\right.$ 1 - $\displaystyle {T_i \over T}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ 1 - {T_i \over T}}\right)$ (140)

d. h. Abkhlung nur wenn die Temperatur kleiner als die Inversionstemperatur ist. Durch geschickte erweiterung findet man

T_i = $\displaystyle {27 \over 4}$ T_k (141)
Inversionskurve: Grenzlinie zwischen Abkhlung und Erw„rmung beim Joule-Thompson-Prozess, d. h. $\alpha$ (p, T). Da man die van-der-Waals-Gleichung nicht nach V aufl”sen kann findet man keine allgemeine Form der Inversionkurve.

Weiterhin kann der Joule-Thompson-Prozess zur Definition der absoluten Temperatur benutzt werden. Hierzu benutzt man:

Meáergebnisse:

C_p' = $\displaystyle \left(\vphantom{ {\delta Q \over \partial \Theta}}\right.$ $\displaystyle {\delta Q \over \partial \Theta}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {\delta Q \over \partial \Theta}}\right)_{p}^{}$ (142)

$\displaystyle \alpha{^\prime}$ = $\displaystyle {1 \over V}$ $\displaystyle \left(\vphantom{ {\partial V \over \partial \Theta}}\right.$ $\displaystyle {\partial V \over \partial \Theta}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {\partial V \over \partial \Theta}}\right)_{p}^{}$ (143)

$\displaystyle {d \Theta \over dp}$ (144)
Definitionen

C_p = $\displaystyle \left(\vphantom{ {\delta Q \over \partial T}}\right.$ $\displaystyle {\delta Q \over \partial T}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {\delta Q \over \partial T}}\right)_{p}^{}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{ {\delta Q \over \partial \Theta}}\right.$ $\displaystyle {\delta Q \over \partial \Theta}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {\delta Q \over \partial \Theta}}\right)_{p}^{}$ $\displaystyle {d\Theta \over dT}$ = C_p' $\displaystyle {d\Theta \over dT}$ (145)

$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {1 \over V}$ $\displaystyle \left(\vphantom{ {\partial V \over \partial T}}\right.$ $\displaystyle {\partial V \over \partial T}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {\partial V \over \partial T}}\right)_{p}^{}$ = $\displaystyle {1 \over V}$ $\displaystyle \left(\vphantom{ {\partial V \over \partial \Theta}}\right.$ $\displaystyle {\partial V \over \partial \Theta}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {\partial V \over \partial \Theta}}\right)_{p}^{}$ $\displaystyle {d\Theta \over dT}$ = $\displaystyle \alpha{^\prime}$ $\displaystyle {d\Theta \over dT}$ (146)
Einsetzen liefert schlieálich

$\displaystyle \int_{T_0}^{T_1}$ $\displaystyle {1 \over T}$ dT = $\displaystyle \int_{\Theta_0}^{\Theta_1}$ $\displaystyle {V \alpha' \over V + C_p' {d\Theta \over dp}}$ d $\displaystyle \Theta$ (147)
Zur Skalenfestlegung definiert man die Integrationsgrenzen $\Theta_{0}^{}$ = 0C $\Theta_{1}^{}$ = 100C sowie T₁ = T₀ + 100C. Ausintegrieren liefert den absoluten Nullpunkt T₀ = 273, 15 $\grad$

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Alexander Wagner
2000-04-15

$\displaystyle \left(\vphantom{ {\partial S \over \partial p}}\right.$ $\displaystyle {\partial S \over \partial p}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {\partial S \over \partial p}}\right)_{T}^{}$	=	$\displaystyle \left(\vphantom{ {\partial V \over \partial T}}\right.$ $\displaystyle {\partial V \over \partial T}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {\partial V \over \partial T}}\right)_{p}^{}$	(134)
$\displaystyle \folgt$ dS(T, p)	=	$\displaystyle \left(\vphantom{ {\partial S \over \partial T}}\right.$ $\displaystyle {\partial S \over \partial T}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {\partial S \over \partial T}}\right)_{p}^{}$ dT + $\displaystyle \left(\vphantom{ {\partial S \over \partial p}}\right.$ $\displaystyle {\partial S \over \partial p}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {\partial S \over \partial p}}\right)_{T}^{}$ dp	(135)

C_p'	=	$\displaystyle \left(\vphantom{ {\delta Q \over \partial \Theta}}\right.$ $\displaystyle {\delta Q \over \partial \Theta}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {\delta Q \over \partial \Theta}}\right)_{p}^{}$	(142)
$\displaystyle \alpha{^\prime}$	=	$\displaystyle {1 \over V}$ $\displaystyle \left(\vphantom{ {\partial V \over \partial \Theta}}\right.$ $\displaystyle {\partial V \over \partial \Theta}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {\partial V \over \partial \Theta}}\right)_{p}^{}$	(143)
$\displaystyle {d \Theta \over dp}$			(144)

C_p = $\displaystyle \left(\vphantom{ {\delta Q \over \partial T}}\right.$ $\displaystyle {\delta Q \over \partial T}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {\delta Q \over \partial T}}\right)_{p}^{}$	= $\displaystyle \left(\vphantom{ {\delta Q \over \partial \Theta}}\right.$ $\displaystyle {\delta Q \over \partial \Theta}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {\delta Q \over \partial \Theta}}\right)_{p}^{}$ $\displaystyle {d\Theta \over dT}$ =	C_p' $\displaystyle {d\Theta \over dT}$	(145)
$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {1 \over V}$ $\displaystyle \left(\vphantom{ {\partial V \over \partial T}}\right.$ $\displaystyle {\partial V \over \partial T}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {\partial V \over \partial T}}\right)_{p}^{}$	= $\displaystyle {1 \over V}$ $\displaystyle \left(\vphantom{ {\partial V \over \partial \Theta}}\right.$ $\displaystyle {\partial V \over \partial \Theta}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {\partial V \over \partial \Theta}}\right)_{p}^{}$ $\displaystyle {d\Theta \over dT}$ =	$\displaystyle \alpha{^\prime}$ $\displaystyle {d\Theta \over dT}$	(146)