4.2 Kr„fte

• X_r = - ${\partial E \over \partial x}$
• $\Omega$(X, E, x): Zahl der Zust„nde, deren Energie E_r (=Enegie eines Mikrozustandes)bei festem „uáerem Parameter x zwischen E und E + $\delta$E liegt, und f�r die gleichzeitig X_r einen Wert zwischen X und X + $\delta$X hat
• Gesamtzahl der Zust„nde des Systems mit Energie zwischen E und E + $\delta$E beim Parameterwert x

  $$\Omega \sum_{X}^{} \Omega$$ (49)

• Eine Žnderung von x um dx bewirkt eine Žnderung der Energie E_r jedes Mikrozustandes, und zwar bei jedem Mirkozustand um einen anderen Betrag
• $\omega$(X;E, x) = ${\Omega(X;E,x) \over \delta E}$: Zustandsdichte, d.h. Zust„nde pro Energieintervall E..E + $\delta$E bei denen jeder Mikrozustand einen Parameterwert x im Intervall X..X + $\delta$X hat bezogen auf eine ''Einheitsenergie'' $\delta$E
• Zahl der Zust„nde mit - X = ${\partial E_r \over \partial x}$, die bei Žnderung von x um dx in das Energieintervall eintreten:

  $$\zeta \omega {\partial E_r \over \partial x} \omega$$ (50)

  d.h. diese Zust„nde liegen vor Žnderung von x um dx unterhalb von E, und zwar genau um den Betrag unterhalb von E, der durch die Žnderung von x repr„sentiert wird. Sie verschieben sich also so weit energetisch nach oben, daá sie nach der Parameter„nderung dem Intervall E..E + $\delta$E angeh”ren.
• Die Gesamtzahl der durch die Parameter„nderung in das Intervall eintretenden Zust„nde ist damit druch Summation �ber alle m”glichen X-Werte gegeben:

  $$\zeta \sum_{X}^{} \zeta \sum_{X}^{} {\Omega(X;E,x) \over \delta E} {\partial E_r \over \partial x}$$ (51)

• Analoge Rechnung f�r die ''austretenen'' Zust„nde, hier liegt der ''Startwert'' bei E + $\delta$E.
• Gesamte Žnderung der Zust„nde: Eintretende minus Austretende. Man findet

  $${\partial \Omega(E,x) \over \partial x} {\partial \over \partial E} \left(\vphantom{ \Omega(E,x) \overline{X}}\right. \Omega \overline{X} \left.\vphantom{ \Omega(E,x) \overline{X}}\right) {\partial \Omega(E,x) \over \partial E} \overline{X} \Omega {\partial \overline{X} \over \partial E}$$ (52)

  wobei die Mittlere Kraft durch $\overline{X}$ = ${1 \over \Omega(E,x)}$$\sum_{X}^{}$$\omega$(X;E, x)Xdefiniert ist.
• Damit findet man

  $${\partial \ln(\Omega) \over \partial x} {\partial \ln(\Omega) \over \partial E} \overline{X} {\partial \overline{X} \over \partial E}$$ (53)

  wobei ${\partial \ln(\Omega) \over \partial x}$$\overline{X}$ $\approx$ f${\overline{X} \over E}$ ist, so daá man den zweiten Term, der nicht von f abh„ngt (f $\gg$ 1=Zahl der Freiheitsgrade) in sehr guter N„herung vernachl„ssigen kann
• Endergebnis:

  $${\partial \ln(\Omega) \over \partial x} {\partial \ln(\Omega) \over \partial E} \overline{X} \beta \overline{X} {1 \over kT} \overline{X}$$ (54)

• statistische Definition der Kraft: 10cm

  $$\overline{X}_{a}^{} {\partial \ln(\Omega) \over \partial x_a} {\partial S \over \partial x_a}$$ (55)