5.3.2 Getriebenes Pendel

• Hinzufügen einer weiteren Dimension für den Phasenraum durch einführen einer periodischen Kraft

• Bewegungsgleichung:
  

  $${d^2 \over dt^2}\phi + r \dot{\phi} + \sin(\phi) = a \cos(\omega_D t)$$ (5.27)

  
  

• Daraus drei Gleichungen 1. Ordnung ( $\theta = \omega_D t$)
  

  $$\dot{\phi} \omega$$ =

  $$\dot{\omega} - r \omega - \sin(\phi) + a \cos(\theta)$$ =

  $$\dot{\theta} = \omega_D$$ (5.28)

  
  
  
  
  

• i. A. Drei konkurrierende Zeitskalen:

  1.

  Antriebsperiode: ${2\pi \over \omega_D}$

  2.

  Eigenperiode: ${2 \pi \over \omega_0}$

  3.

  Relaxationszeit: $1 \over r$

• Definition: Poincar‚-Schnitt

  Betrachtung der Bewegung nur nach festgelegten Zeitpunkten ähnlich einer Stroboskopaufnahme

• Zeitintervall: Antriebsperiode Betrachte
  

  $$\left( \phi(t_j), \omega(t_j)\right) \mbox{ mit } t_j = {2 \pi j \over \omega_D}, \ \ \ \ j=0,1,2,\cdots$$ (5.29)

  
  

• Betrachte Abbildung analog der logistischen Abbildung. Hier ist aber die Abbildung nicht flächenerhaltend.

• Flächenstücke werden bei der Iteration kleiner Attraktoren

• Trajektorien im Poincar‚-Schnitt bei obigem Zeitintervall
  
  

• Seltsamer Attraktor :
  • sind Fraktale
  • entsprechen chaotischen Bahnen
  • ''sehen aus wie gekneteter Teig''