5.3.3 Fraktale Dimension

Mehrere Möglichkeiten zur Definition:

1.

physikalische Bestimmung der Dimension: Für Masse und Ausdehnung eines Objekts gilt

$$M \propto L^D$$ (5.30)

Wobei L die Einheitslänge ist. Damit folgt für die Dimension

$$D_{phys} = \lim_{L \rightarrow \infty} {\log{M} \over \log{L}}$$ (5.31)

12cmD.h. bei einer 2D-Fläche bedeutet eine fraktale Dimension D von z. B. D=1.9, daß die mittlere Dichte $M(L) \over L^2$ nicht konstant ist, sondern mit L^2-D=L^-0.1 abnimmt.

2.

überdeckung des Objekts mit Würfeln der Kantenlänge $\varepsilon$. $N(\varepsilon)$ sei die kleinste Zahl solcher Würfel $N(\varepsilon) \propto \varepsilon^{-D}$ und damit

$$D_{B} = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} {\log \left( N(\v... ...silon)\right) \over \log\left({1 \over \varepsilon} \right)}$$ (5.32)

12cmD.h es existiert eine charakteristische Länge (Korrelationslänge) $\xi$ für die gilt: Mißt man mit einer Länge $L>\xi$ findet man als Dimension des Objekts die Einbettungsdimension, mißt man mit einer Länge $L<\xi$ so sieht man die fraktale Dimension. $\xi$ mißt also das größte Loch im größten Cluster.

3.

Methode von Grassberger und Procaccia:

• Erzeuge N möglichst unkorrelierte Punkte x_i auf dem Attraktor
• Zähle die Punkte x_j, die zu x_i einen Abstand haben, der kleiner ist als R
• Mittle diese Zahl über x_i
• Als Gleichung mit der Stufenfunktion $\Theta(x)$:
  

  $$C(R) = \lim_{N \rightarrow \infty} {1 \over N (N-1)} \sum_{i \neq j}^N \Theta \left( R - \vert x_i - x_j\vert\right)$$ (5.33)

  
  

• Interpretation: C(R) entspricht der mittleren Masse eines Ausschnitts aus dem Attraktor. über die Massen-Längen-Beziehung folgt für die Fraktale Dimension
  

  $$C(R) \propto R^{D_C}$$ (5.34)

  
  
  Beachte: Gilt nur für R-Werte die größer als der mittlere Abstand der Datenpunkte und kleiner als die Ausdehnung des Attraktors sind.

4.

über die Informationsentropie

• überdecke den Attraktor mit Quadraten der Kantenlänge $\varepsilon$
• Zähle die Punkte der Trajektorie die in jedem Kästchen liegen p_i = Wahrscheinlichkeit daß ein Punkt $(\phi, \omega)$ des Attraktors in Quadrat i liegt
• Definition: Entropie
  

  $$I(\varepsilon) = -\sum_i p_i \ln(p_i)$$ (5.35)

  
  

• Definition: Informationsdimension
  

  $$D_I = - \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} {I(\varepsilon) \over \ln(\varepsilon)}$$ (5.36)

  
  

Man kann zeigen, daß $D_B \leq D_I \leq D_C$, wobei man jedoch in praktischen Anwendungen oft übereinstimmung innerhalb des Beobachtungsfehlers findet.