4.2.2 Konkretes Beispiel

• Betrachte die Potentiale
  

  $$V(x) = {K \over (2\pi)^2} \left( 1 - \cos(2 \pi x) \right) W(\Delta) = \einhalb (\Delta - \sigma)^2$$ (4.30)

  
  
  Dabei:
  • K: Stärke des periodischen Potentials
  • $\sigma$: Abstand der Teilchen für K=0 in Einheiten der Periodenlänge des Potentials
• Modifikation von $p_n = x_n - x_{n-1} - \sigma$ zu p_n = x_n - x_n-1
• Gleichungen mit dem Potential
  

  $$p_n + {K \over 2 \pi} \sin(2 \pi x_n)$$ p_n+1 = (4.31)

  x_n+1 = x_n + p_n+1 (4.32)

  
  
  $\longrightarrow$ Standardabbildung oder Chirikov-Abbildung

• Energie
  

  $$H_{MN} = K \sum_{n=M+1}^N {1 \over (2 \pi)^2} \left( 1- \cos(2 \pi x_n)\right) + \sum_{n=M+1}^N \einhalb (p_n - \sigma)^2$$ (4.33)

  
  

• Die Energie ist eine Funktion von x und p

• Mittlere Energie pro Teilchen
  

  $$h = \lim_{N-M \rightarrow \infty} {1 \over N-M} H_{MN}$$ (4.34)

  
  

• Grundzustand: $h(x_0, p_0) \exeq \min$

• Windungszahl: mittlerer Abstand benachbarter Teilchen
  

  $$w = \langle x_{n+1} - x_n \rangle = \lim_{N-M \rightarrow \infty} {x_N - x_M \over N - M}$$ (4.35)

  
  

• Relativ zum Gitter periodische Zustände: $\exists P, Q$ mit x_n+Q = x_n + P, womit für die Windungszahl folgt
  

  $$w = {x_{n+Q} - x_n \over Q} = {P \over Q}$$ (4.36)

  
  
  d. h. w ist rational!

• Zustände mit irrationaler Windungszahl rasten nicht in das Gitter ein