4.5 Einfache Systeme

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Kastenpotential : Eigenwerte $\propto$ n², Eigenfunktionen: $\propto$ Asin(kx) k = 2, 4, 6... und $\propto$ Bcos(kx) k = 1, 3, 5...
Harmonischer Oszillator : V(x) = ${1\over 2}$ kx², Eigenwerte: E_n = $\hbar$ $\omega$ $\left(\vphantom{ n+{1 \over 2} }\right.$ n + ${1\over 2}$ $\left.\vphantom{ n+{1 \over 2} }\right)$ (gleicher Abstand, Nullpunktsenergie, nicht entartet), Eigenfunktionen: Hermite-Polynome (Parit„t n

Definition: Erzeugende Funktion

Entwicklung der Erzeugenden in eine Potenzreihe liefert als Koeffizienten 1 $\over$ n! mal die gesuchten Funktionen. Fr Hermitpolynome gilt z. B.:

G( $\displaystyle \xi$ , s) = exp-s²+2s $\displaystyle \xi$		Erzeugende Funktion	(51)
G( $\displaystyle \xi$ , s) = $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}$ $\displaystyle {H_n(\xi) \over n!}$ sⁿ		Darstellung mit Hermiten	(52)

Alexander Wagner
2000-04-15