4.4 Postulate der Quantenmechanik

• Jede dynamische Variable kann durch einen linearen Operator beschrieben werden
• Diese Operatoren sind Selbstadjungiert oder Hermitisch
• Die Eigenwerte hermitischer Operatoren sind rell.
• Jede Messung liefert einen Eigenwert des Operators. Die Gesamtheit alle Eigenwerte heiát Spektrum.
• Die Eigenfunktionen bilden ein orthogonales System. Bei entarteten Eigenwerten k”nnen zu diesen orthogonale Funktionen durch Superposition erzeugt werden, es ergibt sich immer eine orthogonale Basis.
• Es gilt das Superpositionsprinzip f�r die Wellenfunktionen, das besagt, daá jede šberlagerung zweier L”sungen der Schr”dingergleichung wieder eine L”sung ergibt.
• Die Wahrscheinlichkeit einen Wert a_n zu messen ist P_n(t) = | c_n|²
• Jede Wellenfunktion kann als $\Psi$ = $\sum_{j}^{}$c_j$\psi_{j}^{}$ mit c_j = $\langle$$\psi_{j}^{}$|$\Psi$$\rangle$ dargestellt werden
• $\psi$ heiát Repr„sentation
• Der šbergang von einer Repr„sentation in eine andere geschieht durch unit„re Transformationen
• L”sung eines Eigenwertproblems geschiet durch Finden einer unit„ren Transformation, die die Observable diagonalisiert. Die gesuchten Eigenwerte sind die Diagonalelemente.
• Sind A und B zwei kommutierende Operatoren, so existiert ein vollst„ndiger Satz von Eigenfunktionen, und beide Observable sind simultan meábar.
• Bohrsches Korrespondenzprinzip: Quantenmechanische Rechnung geht f�r hohe Quantenzahlen in die klassische Rechnung �ber
• Symetrie: Die Symmetrie eines Teilchensystems bleibt erhalten
• Bosonen: Teilchen mit total symmetrischer Wellenfunktion = Teilchen mit Spin 0 oder ganzzahligem Spin (Photonen...) $\Rightarrow$ Bose-Einstein-Statistik
• Fermionen: Teilchen mit total antisymmetrischer Wellenfunktion = Teilchen mit Halbzahligem Spin $\Rightarrow$ Fermi-Dirac-Statistik

Entwicklung nach Eigenfunktionen:

$$\int \phi^{*}_{n'} \Psi \sum_{n}^{} \int \phi^{*}_{n'} \phi_{n}^{} \sum_{n}^{} \delta_{nn'}^{}$$ Entwicklung nach Eigenfunktionen (46)

$$\langle \rangle \int$$ Dirac-Notation (47)

$$\langle \rangle \int$$ Matrixelement (48)

$$\langle \rangle \langle \Psi \Psi \rangle \sum_{n}^{}$$ Erwartungswert (49)

$$\Psi \sum_{j}^{} \psi_{j}^{} \sum_{j}^{} \psi_{j}^{} \langle \psi_{i}^{} \psi_{j}^{} \rangle$$ (50)