3.1 Energieerhaltung

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3.1 Energieerhaltung

Der Streuoperator S erh„lt die Energie. Da S die einlaufenden asymptotischen Zust„nde auf die auslaufenden asymptotischen Zust„nde abbildet bedeutet das, daá S mit H⁰ (= kinetische Energie) kommutiert, nicht mit H. Fr die Streuoperatoren gilt

H $\displaystyle \Omega_{\pm}^{}$ = $\displaystyle \Omega_{\pm}^{}$ H⁰

(21)

Da die Mølleroperatoren isometrisch sind ist dies gleichbedeutend mit

$\displaystyle \Omega^{\dagger}_{\pm}$ H $\displaystyle \Omega_{\pm}^{}$ = H⁰

(22)

Daran sieht man ebenfalls, daá die Mølleroperatoren i.A. nicht unit„r sein k”nnen, da sonst H und H⁰ das selbe Spektrum h„tten, also z. B. H keine gebundenen Zust„nde haben drfte (da ja H⁰ keine hat). Anders herum k”nnen die Mølleroperatoren nur dann unit„r sein, wenn es keine gebundenen Zust„nde gibt.

S kommutiert mit H⁰:

SH⁰ = $\displaystyle \Omega^{\dagger}_{-}$ $\displaystyle \Omega_{+}^{}$ H⁰ = $\displaystyle \Omega^{\dagger}_{-}$ H $\displaystyle \Omega_{+}^{}$ = H⁰ $\displaystyle \Omega^{\dagger}_{-}$ $\displaystyle \Omega_{+}^{}$ = H⁰S

(23)

Um die Vertauschbarkeit von S mit H⁰ ausnutzen zu k”nnen entwickelt man in eine Basis aus Eigenvektoren. Da aber H⁰ der Hamiltonoperator eines freien Teilchens ist, gibt es keine echten Eigenvektoren und man muá mit den Impulsen arbeiten. Die Wellenfunktion zu den Impulseigenvektoren sind ebene Wellen

$\displaystyle \langle$ x| p $\displaystyle \rangle$ = (2 $\displaystyle \pi$ )^{- 3}e^{i^.}

(24)

wobei man $\vec{p}\,$ auf die dreidimensionale Deltafunktion normiert, d. h. $\langle$ $\vec{p}{^\prime}$ | $\vec{p}\,$ $\rangle$ = $\delta_{3}^{}$ $\vec{p}{^\prime}$ - $\vec{p}\,$ . Damit folgt fr das S-Matrixelement in Impulsdarstellung $\bra$ $\vec{p}\,$ S $\vec{p}\,$ , was oft schlicht als die S-Matrix bezeichnet wird. Der Vorteil der ebenen Wellen ist, daá sie eine brauchbare Basis fr die Entwicklung der wahren Eigenzust„nde darstellen:

| $\displaystyle \psi$ $\displaystyle \rangle$ = $\displaystyle \int$ d³p $\displaystyle \psi$ (p) $\displaystyle \ket$ p

(25)

Damit ergibt sich die Energieerhaltung im Impulsraum zu

$\displaystyle \bra$ $\displaystyle \vec{p}{^\prime}$ S $\displaystyle \ket$ $\displaystyle \vec{p}\,$ = $\displaystyle \delta$ (E_p' - E_p) x (Rest) (26)

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Alexander Wagner
2000-04-15