6.3 Bornsche N„herung

• Zur Berechnung bei groáen Teilchenenergien, da bei hohen Teilchenenergien viele Partialwellen n”tig w„ren
• Betrachte einlaufende und auslaufende Welle als eben, d. h.
  

  $${1 \over \tau} e^{i\vec{k}\cdot \vec{r}} {1 \over \tau} e^{-i\vec{k}\cdot \vec{r}}$$ (80)

  $$\mbox{mit } \int \vert\psi\vert d\tau = 1$$ (81)

  
  

• Betrachte die šbergansrate aus Fermi's Goldene Regel
  

  $$W(\vec{k}', \vec{k}) {2 \pi \over \hbar} \left\vert U(\vec{k},\vec{k}') \right\vert^2 {dn \over dE}$$ (82)

  
  
  mit dem šbergangsmatrixelement U
• F�r das šbergangsmatrixelement gilt hier:
  

  $$U(\vec{k}',\vec{k}) = {1 \over \tau} \int \left( e^{i \vec{... ...cdot \vec{r}}\right)^* V(r) e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} d\tau$$ (83)

  
  

• Beachte: St”rungstheoretische Rechnung, d. h. im Gegensatz zur Partialwellenmethode nicht exakt!
• Der Wirkungsquerschnitt ergibt sich mit der Stromdichte der einfallenden Teilchen
  

  $${d\sigma \over d\Omega} = {W_\theta(\vec{k},\vec{k}') \over j}$$ (84)

  
  

• f�r die Dichte der Endzust„nde gilt
  

  $${dn \over dE} = {\tau p^2 \over h^3 \sigma}$$ (85)

  
  

• G�ltigkeitsbereich: $E \gg V$ d. h. $R_0 k \left\vert\sqrt{1\pm {V_0 \over E}} - 1 \right\vert \ll 1$
• Hieraus z. B. die Rutherford-Streuung, wenn das Potential $V(r) = {ZZ' e^2 \over r}$

F�r schwere Ionen findet man

• Nahezu klassische Beschreibung m”glich
• Voraussetzung hierzu: Potential „ndert sich im Verlauf der Wellenl„nge wenig, d. h. $\vert\nabla(\bared{\lambda(r)})\vert^2 \ll 1$
• Oder $2 \bared{\lambda} \ll r_{min}$
• Kriterium f�r klassische Bahnen: groáer Sommerfeldparameter
  

  $$n = {Z_1 Z_2 e^2 \over \hbar v_0} = 0.16 Z_1 Z_2 \sqrt{m_r \over E_{CM}}$$ (86)

  
  

• Bei Rechnung mit Partialwellen stellt man fest, daá bei schweren Ionen sehr hohe Drehimpulse auftreten
• Glory-Effekt: Projektil umrundet den Targetkern und wird r�ckw„rts gestreut