6.1 Partialwellenzerlegung

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6.1 Partialwellenzerlegung

Vorgehensweise:

Betrachte Rutherfordstreuung: Parametrisierung nach dem Stoáparameter b
Analog: Parametrisierung nach dem Bahndrehimpuls $\vec{l}=\vec{b} \times \vec{p}$
Ergebnis: Ringzonen d. h. in jeder Kreiszone statt $b \cdots b+db$ $l \cdots l+1$
Quantenmechanische Betrachtung
- Voraussetzungen
  $\begin{Folgerungen} \item Zentralpotential (d.h. nur r-abh„ngig!) \item betrachte groáen Abstand \item station„res Problem \end{Folgerungen}$
- Da Zentralpotential Separation der Wellenfunktion in $\psi(\vec{r}) = R(r) \Theta(\theta) \Phi(\phi)$
- L”sung sind dann
  
  $\begin{displaymath} \Theta(\theta) \Phi(\phi) = Y_{lm}(\theta, \phi) = c_{l,m} P_l^m(\cos(\theta)) e^{i m\phi} \end{displaymath}$ (68)
- Die radiale Abh„ngikeit findet man dann zu
  
  $\begin{displaymath} u_l(kr) = r j_l(kr) = r \sqrt{\pi \over 2kr} J_{l+\einhalb} (kr) \end{displaymath}$ (69)
  
  wobei j_l(kr) eine sph„rische Besselfunktion bzw. $J_{l+\einhalb}$ eine gew”hnliche Besselfunktion ist
- Entwickle nun e^ikz in diesen L”sungen. Man findet
  
  $\begin{displaymath} e^{ikz} = e^{ikr\cos(\theta)} = \sum_{l=0}^\infty (2l+1) i^l j_l(kr) P_l(\cos(\theta)) \end{displaymath}$ (70)
- in groáem Abstand kann man die Besselfunktionen n„hern
- insgesamt ergibt sicht fr die einfallende ebene Welle
  
  $\begin{displaymath} \psi_e = e^{ikz} = {1 \over 2kr} \sum_{l=0}^\infty (2l+1) i... ...{i \left( kr - \halbe{l\pi}\right)}\right] P_l(\cos(\theta)) \end{displaymath}$ (71)
- k bleibt erhalten, da elastische Streuung
- Žndern kann sich nur Amplitude und Phase Multiplikation der auslaufdenden Welle mit einem i. A. komplexen Faktor $\eta_l$ , was die Gesamtfunkton $\psi_T$ ergibt
- Mit
  
  $\textstyle \psi_T = \psi_e + \psi_{Streu}$ (72)
  
  $\textstyle \psi_{Streu} = f(\theta) {e^{ikr} \over r}$ (73)
  
  ergibt sich $f(\theta)$ als Funktion von $\eta_l$
  
  $\begin{displaymath} f(\theta) = {i \over 2 k} \sum_{l=0}^\infty (2l+1) (1-\eta_l) P_l(\cos(\theta)) \end{displaymath}$ (74)
- differentieller Wirkungsquerschnitt
  
  $\begin{displaymath} {d\sigma \over d\Omega} = \vert f(\theta)\vert^2 = {1 \over... ...t\sum_{l=0}^\infty (2l+1) (1-\eta_l) P_l(\cos(\theta))\vert^2 \end{displaymath}$ (75)
- totaler Wirkungsquerschnitt: $\sigma = \int_{Kugel} {d\sigma \over d\Omega}$ . Beachte Vollst„ndigkeit der Legendre-Polynome. Man findet
  
  $\begin{displaymath} \sigma_s = {\pi \over k^2} \sum_l (2l+1) \vert 1-\eta_l\vert^2 \end{displaymath}$ (76)
- Fr Kernreaktionen findet man den Reaktionsquerschnitt durch Betrachtung der Teilchenstromdichten j_e und j_T
- Reaktionsquerschnitt: $\sigma_r = {\int j_T r^2 d\Omega \over j_e}$
- Definition des (reellen) Phasenwinkels:
  
  $\begin{displaymath} \eta_l = \vert\eta_l\vert e^{2i\delta_l} \end{displaymath}$ (77)
Verhalten fr verschiedene (s. a. Mayer-Kuckuk S. 118)
- $\vert\eta_l\vert = 1$ : Reaktionsquerschnitt = 0, d. h. reine elastische Streuung da nur Phasen„nderung auftritt, hier muá man fr die Rechnung nur $\delta_l$ betrachten!
- $\eta_l = 0$ : Maximaler Reaktionsquerschnitt
- $\eta_l = -1$ : Gr”áter Streuquerschnitt
Unter Benutzung des Phasenwinkels findet man fr die Streuamplitude bei rein elastischer Streuung

$\begin{displaymath} f(\theta) = {1 \over k} \sum_l (2l+1) \underbrace{\halbe{i}(1-e^{2 i \delta_l})}_{= e^{i \delta_l} \sin(\delta_l) } \end{displaymath}$ (78)
Betrachtet man als Streupotential das Coulombpotential und das Kernpotential, so ist die Streuamplitude die Summe aus beiden Einzelstreuamplituden
Coulomb-Streuphase sehr kompliziert zu berechnen
zur Messung des Kernpotentials Neutronenstreuung
S-Wellen-Streuung: z. B. Streuung thermischer Neutronen
$\begin{Folgerungen} \item l=0 \item $P_0 = 1$ \item $f_0 = \bared{\lambda} e^{... ...aktionsrate zu und es liegt keine S-Wellen-Streuung mehr vor. \end{Folgerungen}$
Betrachte L”sung eines Kastenpotentials (Mayer-Kuckuk S. 121ff)
- Potential schiebt die L”sung ohne Potential zu kleineren r (d.h. zum Potential hin) hier um ${\delta_0 \over k_a}$
- Anschluábedingungen liefern zwei F„lle
  $\begin{Folgerungen} \item \bfindex{Potentialstreuung}: Anschluá an die L”sung i... ...nschlusses zwischen Resonanz- und Potentialstreuung: 90\grad \end{Folgerungen}$
Experiment:
- Messung von $f(\theta)$ fr verschiedene Energien
- Fit der $\delta_l$ an die gemessenen Verteilungen
- Je nach Projektil muá das Coulombpotential bercksichtigt werden
- Anpassen des Potentialmodells so, daá sich als L”sung der Schr”dingergleichung mit diesem Potential die bestimmten $\delta_l$ erbeben