3.1 Fermigasmodell

Voraussetzung: Unabh„ngige, nicht miteinander wechselwirkende Teilchen. D. h. Nukleon bewegt sich in einem mittleren Potential, die Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung wird vernachl„ssigt.

Einfaches Modell: nichtwechselwirkende Spin-Teilchen in einem 3D-Potentialkasten mit unendlich hohen W„nden bei r=R. L”sung der Sch”rdingergleichung liefert

$$\mbox{Wellenfunktionen: } X^+_{\lambda} = {2 \over \sqrt{2a}} \cos(k_{\lambda}^+ x) X^-_{\lambda} = {2i \over \sqrt{2a}} \sin(k_{\lambda}^- x)$$ (9)

$$\mbox{mit } k_{\lambda}^+ = {\pi \lambda^+ \over a} k_{\lambda}^- = {\pi \lambda^- \over a}$$ (10)

$$\mbox{wobei } \lambda^+ = 1,3,5... \lambda^- = 0,2,4...$$ (11)

$$\mbox{Energie } E_x = {\hbar \over 2m} k_{\lambda}^2 \mbox{y,z analog}$$ (12)

$$\mbox{Impuls }$$ p² = 2 m E (13)

Betrachte nun im Phasenraum die Anzahl der Energieeigenwerte in einer Kugel mit Radius r, d.h. das Integral der Zustandsdichte. Die Zahl der Zust„nde im Volumen $L\cdot p$ ist quantenmechanisch gegeben durch:

$$N = {L p \over 2 \pi \hbar} = {L p \over h}$$ (14)

Mit $E={p^2 \over 2m}$ ergibt sich daraus die Zustandsdichte¹:

$$\rho(E) = {dN \over dE} = 2 {dN \over dp} {dp \over dE} = {L... ...i \hbar} {2m \over p} = {L \over 2\pi \hbar} \sqrt{2m \over E}$$ (15)

F�r die Zahl der Zust„nde pro Impulsintervall gilt wenn $\lambda \gg 1$:

$${\Delta \lambda \over \Delta p} \approx {d\lambda \over dp} = {L \over h}$$ (16)

Dies gilt bisher in einer Dimension. In 3D gilt f�r das Zellvolumen h³ und das Volumen des Phasenraums $\int d^3x d^3p$. Damit folgt:

$$N_{3D} = {1 \over h^3} \int d^3x d^3p = {V \over h^3} \int d^3p$$ (17)

$$\rho_{3D} = {V \over h^3} {d \over dE} \int d^3 p = {V \over h^3} {d \over dE} \int p^2 dp d\Omega$$ (18)

F�r die Zust„nde in der Kugelschale ergibt sich damit durch Integration �ber d³p:

$$n = {V p^3_{max} \over 6 \pi^2 \hbar^3} \Rightarrow N = 2n = {V p^3_{max} \over 3 \pi^2 \hbar^3}$$ (19)

wo $V={4 \over 3} \pi R_0^3$ das Kernvolumen ist. Hieraus folgt die Fermienergie f�r jede Nukleonensorte durch Einsetzen von $E_F={p_F^2 \over 2m} \approx 40 MeV$:

$$E_F = \einhalb m \cdot 3^{2\over 3} \pi^{4\over 3} \hbar^2 \left( {n \over V }\right)^{2\over 3}$$ (20)

Bisher: F�r Protonen wird die Coulomb-Kraft nicht ber�cksichtigt. $\Rightarrow$ Zwei unabh„ngige Fermigase im Kern: Protonen und Neutronen. F�r die Protonen muá noch das Coulomb-Potential ber�cksichtigt werden $\Rightarrow$ Erniedigung der Bindungsenergie.

F�r stabile Kerne muá die Fermienergie f�r Protonen und Neutronen etwa gleich hoch liegen, da sich sonst Neutronen in Protonen umwandeln w�rden und umgekehrt, wenn unterhalb einer Fermikante ein unbesetzes Niveau vorl„ge.