Voraussetzung: Unabh„ngige, nicht miteinander wechselwirkende Teilchen. D. h. Nukleon bewegt sich in einem mittleren Potential, die Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung wird vernachl„ssigt.
Einfaches Modell: nichtwechselwirkende Spin-Teilchen in einem 3D-Potentialkasten mit unendlich hohen W„nden bei r=R. L”sung der Sch”rdingergleichung liefert
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(9) |
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p2 = 2 m E | (13) |
Betrachte nun im Phasenraum die Anzahl der Energieeigenwerte in einer
Kugel mit Radius r, d.h. das Integral der Zustandsdichte.
Die Zahl der Zust„nde im Volumen
ist quantenmechanisch
gegeben durch:
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Mit
ergibt sich daraus die
Zustandsdichte1:
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Fr die Zahl der Zust„nde pro Impulsintervall gilt wenn :
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Dies gilt bisher in einer Dimension. In 3D gilt fr das Zellvolumen
h3 und das Volumen des Phasenraums
.
Damit folgt:
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(17) | ||
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Fr die Zust„nde in der Kugelschale ergibt sich damit durch Integration ber d3p:
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wo
das Kernvolumen ist. Hieraus folgt die
Fermienergie fr jede Nukleonensorte durch Einsetzen von
:
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Bisher: Fr Protonen wird die Coulomb-Kraft nicht bercksichtigt.
Zwei unabh„ngige Fermigase im Kern: Protonen und
Neutronen. Fr die Protonen muá noch das Coulomb-Potential
bercksichtigt werden
Erniedigung der Bindungsenergie.
Fr stabile Kerne muá die Fermienergie fr Protonen und Neutronen etwa gleich hoch liegen, da sich sonst Neutronen in Protonen umwandeln wrden und umgekehrt, wenn unterhalb einer Fermikante ein unbesetzes Niveau vorl„ge.