2.4 Multipol-Entwicklung

Verwendung z. B. in der klassischen Elektrodynamik zur Beschreibung komplizierter Felder von Ladungsverteilungen.

Potential

$$\Phi(\vec{r}) = \sum_{i=1}^N {e_i \over \vert\vec{r} - \vec{r}^{(i)}\vert}$$ (2.57)

für diskrete Ladungen, bzw. für eine kontinuierliche Ladungsdichte

$$\Phi(\vec{r}) = \int d^3 r' {\rho(\vec{r}') \over \vert\vec{r} - \vec{r}'\vert}$$ (2.58)

Das elektrische Feld ist durch den Gradienten bestimmt ( $\vec{E} = -\nabla \Phi(\vec{r})$)

Man kann nun ${1 \over \vert\vec{r} - \vec{r}'\vert}$ nach Legendre-Polynomen oder Kugelfälchenfunktionen entwickeln. ^2.1 Hierzu betrachtet man die Differenz der beiden Ortsvektoren in Kugelkoordinaten. Man kann dann mit dem Cosinussatz für allgemeine Dreiecke schreiben:

$${1 \over \vert\vec{r} - \vec{r}'\vert} = {1 \over \sqrt{r^2 +r'^2 - 2 \vec{r} \cdot \vec{r}'}}$$ (2.59)

Womit der Abstand $\vert\vec{r} - \vec{r}'\vert$ eine Funktion der Vektorbeträge und des Zwischenwinkels wird Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen ist möglich und es ergibt sich

$${1 \over \vert\vec{r} - \vec{r}'\vert} = \sum_{l,l',m,m'} A_{ll'mm'}(r,r') Y^*_{l'm'}(\theta', \phi') Y_{lm}(\theta, \phi)$$ (2.60)

Wendet man auf beide Seiten der Gleichung den Laplace-Operator $\Delta$ an, so findet man nach einiger Rechnung unter Verwendung der Eigenschaften der Kugelflächenfunktionen schließlich die allgemeine Entwicklung

$${1 \over \vert\vec{r} - \vec{r}'\vert} = 4 \pi \sum_{l=0}^\... ...ver r_>^{l+1}} Y^*_{l'm'}(\theta', \phi') Y_{lm}(\theta, \phi)$$ (2.61)

Eingesetzt in das Potential $\Phi(\vec{r})$ ergibt sich die allgemeine Multipolentwicklung. Als Multipolmoment bezeichnet man

$$q_{lm} = \int d^3r' \rho(\vec{r}') r'^l Y_{lm}^*(\theta',\phi')$$ (2.62)

Für eine Entwicklung bis zum Quadrupolmoment findet man also

$$\Phi(\vec{r})={q \over r} + {\vec{p} \cdot \vec{r} \over r^... ... {1 \over r^5} \vec{r} \hat{Q} \vec{r} + \Order({1 \over r^4}$$ (2.63)

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