2.3.2 Fehlerabschätzung für $\vec{a}_0$ mit der $\chi ^2$-Verteilung

Beachte: Es wird nur ein Experiment gemacht, trotzdem soll der Fehler für den Parametersatz abgeschätzt werden.

• Konturen im M-Dimensionalen $\vec{a}$-Raum mit konstantem $\chi^2(\vec{a})$ sind ein Maß für den Fehler von $\vec{a}_0$
• Bei kleinen Abweichungen $\vert\vec{a} - \vec{a}_0\vert$: Ellipsoide mit M Hauptachsen
• Länge der Hauptachsen: Maß für die Empfindlichkeit des Fits bei änderung von A in diese Richtung (je kleiner die Achse, desto empfindlicher der Fit für diesen Parameter)
• Quantitatives Verfahren:
  • Erzeugung künstlicher Daten Y_i durch Addition eines gaußverteiten Fehlers $\varepsilon_i$ zum Modell $g(\vec{a}_0, t_i)$:
    

    $$Y_i = g(\vec{a}_0, t_i) + \varepsilon_i$$ (2.55)

    
    

  • Es gilt: $\langle \varepsilon_i^2 \rangle = \sigma_i^2$ (Gaußverteilung)
  • Erneuter Fit mit diesen Daten Parametersatz $\vec{a}_1$
  • Widerholung der Prozedur liefert mehrere Parametervekroren $\vec{a}_k$
  • Aus der Breite der Verteilung der Komponenten der $\vec{a}_k$ Fehlerbalken für $\vec{a}_0$
• Kann man $\chi(\vec{a})$ um $\vec{a}_0$ entwicklen und diese Entwicklung nach quadratischen Gliedern abbrechen, so ist
  

  $$\Delta = \chi(\vec{a})-\chi(\vec{a}_0)$$ (2.56)

  
  
  wieder nach P verteilt, aber nur mit M Freiheitsgraden
• Gebiete mit konsantem $\Delta$ sind im Parameterraum Ellipsoide
• Projektionen der Ellipsoide auf die Achse i gibt die Fehlerbalken des Parameters a_i