2.2.5 Datenglättung

Prinzip: Mitteln des Wertes an einem Punkt durch gewichtetes Mitteln der Daten um einen Punkt herum. Zur Wichtung verwendet man eine Gaußglocke um unerwünschte neue Strukturen zu vermeiden, d. h. jeder Datenpunkt wird entsprechend seinem Abstand vom aktuellen Meßwert mit einer Gaußfunktion gewichtet.

Prinzip: Entspricht dem Falten der Meßfunktion g mit einer Gaußfunktion k.

$$\overline{g}_r = \sum_{j=-\halbe{M}+1}^{\halbe{M}} g_{r-j} k_j$$ (2.40)

Die Gaußglocke heißt auch Gewichtsfunktion oder Kern. Dieser muß normiert sein, d. h. bei Betrachtung diskreter Datenpunkte gilt $\sum_j=1^N k_j = 1$.

Betrachtet wird die diskrete Folge g_i = f_i + r_i, wobei f_i die eigentlichen Funktionswerte, und r_i das Rauschen darstellt. Die gemittelte Funktion wird als

$$\overline{g}_r = \sum_{j=1}^N g_{r-j+1} k_j$$ (2.41)

wenn man lt. Kienzel die Glaußkurve symmetrisch so in das Intervall k_j legt, daß das Maximum bei 1 liegt und die Intervalle bei 1 loslaufen.

Mit Hilfe der Fouriertransformierten kann man g'_s und k'_s schreiben als:

$$\overline{g}_r = \sum_{s=1}^N g'_s k'_s e^{-2 \pi i (s-1) (r-1) \over N}$$ (2.42)

da für die Faltung von Funktionen gilt:

$$\sum_{j=1}^N f_{r+1-j} g_j$$ h_r = (2.43)

$$\overline{h}_s {1 \over \sqrt{N}} \sum_{r=1}^N \overline{g}_m e^{-2 \pi i {(r-1)(s-1) \over N}}$$ = (2.44)

$${1 \over \sqrt{N}} \sum_{m=1}^N \overline{g}_m e^{-2 \pi i {(m-1) (j-1) \over N}}$$ g_j = (2.45)

$${1 \over \sqrt{N}} \sum_{n=1}^N \overline{f}_n e^{-2 \pi i {(n-1) (r-j) \over N}}$$ f_r+1-j = (2.46)

$$\folgt \overline{h}_s \left( {1 \over \sqrt{N}}\right)^3 \sum_{r,j,m,n} \overline{g}_m ... ...f}_n e^{{2\pi i \over N} \left( (r-1) (s-1) - (m-1) (j-1) - (n-1)(r-j)\right) }$$ = (2.47)

$$\mbox{es gilt: }$$

$$\sum_{l=1}^N e^{2 \pi i l {q \over N}} N \delta_{q,kN} \ \ \ \forall k \in Z$$ = (2.48)

Beachte $\folgt (r-1) (s-1) - (m-1) (j-1) - (n-1) (r-j) = rs - r - s + 1 - m j + j - 1 - nr + nj + r - j$ womit sich ergibt:

$$\overline{h}_s \left( {1 \over \sqrt{N}}\right)^3 \sum_{r,j,m,n} \overline{g}_m \overline{f}_n \exp\left( {2 \pi i \over N} ( m-s + r(s-n) +j(n-m))\right)$$ = (2.49)

$$\left( {1 \over \sqrt{N}}\right)^3 \sum_{m,n} \overline{g}_m \ove... ...}_n \exp\left( {2 \pi i \over N} (m-s)\right) N \delta_{s-n,0} N \delta_{n-m,0}$$ = (2.50)

$$\sqrt{N} \sum_{m,n} \overline{g_m} \overline{f}_n \exp\left( {2 \pi i \over N} (m-s)\right) \delta_{s,n} \delta_{n,m}$$ = (2.51)

$$\sqrt{N} \overline{g}_s \overline{f}_s$$ = (2.52)

Wichtige Punkte für die Glättung

• Am Rand des Intervalls größere Abweichungen von der Originalfunktion, da diese nicht notwendig periodisch ist (letzeres ist Voraussetzung der Fourieranalyse)
• geglättete Kurve hat auf Grund der Mittlung kleinere Amplitude als die Originalkurve
• Ganze Gaußglocke verwenden (in beide Richtungen!)
• Normierter Kern
• richtige Breite der Gewichtsfunktion
  • zu schmal:kein Glättung (Extremfall: Ungeglättete Daten)
  • zu breit: verwischen kurzperiodischer Strukturen (Extremfall: Konstante)
• Bei bekannter Statistik der Streuung gibt es analytische Ansätze zur Ermittlung des optimalen Kerns