4.10.2 Zeitabh„ngige St”rungsrechnung

Betrachte einen Hamilton-Operator:

$$\underbrace{H_0}_{\mbox{ungest”rt}}^{}\, \underbrace{\lambda H'(t)}_{\mbox{zeitabh„ngige St”rung}}^{}\,$$ (90)

Methode: Dirac's Methode der Variation der Konstanten

Annahmen:

• Eigenwerte und
• Eigenfunktionen des ungest”rten Systems
• Eigenfunktionen bilden ein Vollst„ndiges Orthonormalsystem

$$\Rightarrow \hbar {\partial \Psi_0 \over \partial t} \Psi_{0}^{}$$ Zeitabh„ngige Schr”dingergleichung (91)

$$\Psi_{0}^{} \sum_{k}^{} \psi_{k}^{} {-i E_k t \over \hbar}$$ L”sung des ungest”rten Systems (92)

c_k⁽⁰⁾: Konstanten, Summe l„uft �ber den gesamten Satz von Eigenfunktionen. Aus der Vollst„ndigkeit der $\psi_{k}^{}$ folgt, daá sich uach die allgemeine L”sung des gest”rten Systems analog nach diesen entwickeln lassen muá, allerdings mit Zeitabh„ngigen Entwicklungskoeffizienten c_k(t). Deren Startwerte bilden obige c_k⁽⁰⁾. Einsetzen der Entwicklung in dei Schr”dingerleichung liefert:

$$\hbar \sum_{k}^{} {d\over dt} \psi_{k}^{} {-i E_k t \over \hbar} \sum_{k}^{} \lambda \psi_{k}^{} {-i E_k t \over \hbar}$$ (93)

Projektion dieser Beziehung auf die Basis $\psi_{k}^{}$ liefert ein System gekoppelter Gleichungen. Bisher wurde keine N„herung benutzt, d. h. dieses Gleichungssystem ist identisch mit der zeitabh„nigen Schr”dingergleichung . F�r eine kleine St”rung k”nnen nun die Koeffizienten in eine Reihe entwickelt werden: c_k = c_k⁽⁰⁾ + $\lambda$c_k⁽¹⁾ + $\lambda^{2}_{}$c_k⁽²⁾ + .... Einsetzen dieser Entwicklung und sortieren nach gleichen Potenzen von Lambda liefert nun:

$${d\over dt}$$ (94)

$${d\over dt} {1 \over i \hbar} \sum_{k}^{} \omega_{b}$$ (95)

$${d\over dt} {1 \over i \hbar} \sum_{k}^{} \omega_{b}$$ (96)

$$\langle \psi_{b}^{} \psi_{k}^{} \rangle$$ (97)

$$\omega_{bk}^{} {E_b - E_k \over \hbar}$$ (98)

Daraus kann nun prinzipiell die L”sung in jeder Ordnung integriert werden. War das System zu Beginn ( t $\leq$ t₀) in einem wohldefinierten station„ren Zustand $\psi_{a}^{}$ der Energie E_a, so gilt vereinfachend c_k⁽⁰⁾ = $\delta_{ka}^{}$ f�r diskrete Zust„nde bzw. f�r kontinuierliche Zust„nde c_k⁽⁰⁾ = $\delta$(k - a) und es ergibt sich in erster Ordnung vereinfachend

$${1 \over i \hbar} \int_{t_0}^{t} \omega_{ba}$$ (99)

bzw. wenn H' nur insofern Zeitabh„nig ist, daá die St”rung zur Zeit t₀ ein- und zur Zeit t wieder ausgeschaltet wird:

$${1 \over i \hbar} \left(\vphantom{ e^{i \omega_{ba} t'} -1 }\right. \omega_{ba} \left.\vphantom{ e^{i \omega_{ba} t'} -1 }\right)$$ (100)

Wie �blich gilt f�r die šbergangswahrscheinlichkeit

P_ba(t) = | c_b⁽¹⁾(t)|² Allgemein (101)

$${2 \over \hbar} {1-\cos(\omega t) \over \omega^2}$$ im Spezialfall (102)

šbergangswahrscheinlichkeit als Funktion von t:

• $\omega_{ba}^{}$ = 0: šbergangsrate $\propto$ t², strikte Energieerhaltung
• $\omega_{ba}^{}$ $\neq$ 0: F(t,$\omega_{ba}^{}$) oszilliert $\Rightarrow$ P_ba oszilliert

Betrachte ,,Gruppenzust„nde'' f�r den zweiten Fall, d. h. Zust„nde in einem gewissen Energieintervall. Sei $\rho_{b}^{}$(E_b) Die Zustandsdichte, so ergibt sich die šbergangsrate durch Integration:

$${\hbar \over 2} \rho_{b}^{} \int_{E_b'-\eta}^{E_b'+\eta} \omega_{ba}^{}$$ (103)

wobei $\rho$(E_b) als konstant angenommen wurde (z. B. kleines Energieintervall aber $\eta$ $\gg$ ${2\pi \hbar \over t}$). Der gr”áte Beitrag zum Integral wird hier durch Energieerhaltende šberg„nge geliefert, so daá das Integral hierdurch gen„hert werden kann. Es ergibt sich

$${2\pi \over \hbar} \rho_{b}^{}$$ (104)

$${dP_{ba}\over dt} {2\pi \over \hbar} \rho_{b}^{}$$ Fermi's Goldene Regel (105)