4.10.1.2 Entartet

Problem: Fr einen zu berechnenden gest”rten Zustand existieren mehrere ungest”rte Wellenfunktionen, man weiá nicht, welcher die L”sung des gest”rten Zustandes fr $\lambda$ $\rightarrow$ 0 entspricht.

Seien $\psi_{kr}^{}$ die $\alpha$ Wellenfunktionen, die einem Energieniveau des ungest”rten Systems entsprechen. Diese gengen der Orthogonalit„tsrelation und k”nnen normiert werden, so daá gilt $\langle$ $\psi_{m}^{i}$ | $\psi_{m}^{j}$ = $\delta_{ij}^{}$ mit i, j = 1, 2, 3,..., $\alpha$ Man kann also in dieser Basis arbeiten und erh„lt somit analog zum nichtentarteten Fall die Wellenfunktion (Wobei i der Index fr die entarteten Funktionen ist, also $\psi_{k}^{i}$ )

| $\displaystyle \psi_{k}^{(1)}$ $\displaystyle \rangle$ = | $\displaystyle \psi_{k}^{}$ $\displaystyle \rangle$ + $\displaystyle \sum_{m \neq k}^{}$ $\displaystyle \sum_{i}^{}$ $\displaystyle {\langle \psi_m^i \vert H' \vert \psi_k\rangle \over E_k - E_m}$ | $\displaystyle \psi_{m}^{i}$ $\displaystyle \rangle$

Wellenfunktion

(83)

Die Korrektur in erster Ordnung ist also eine Superposition aller ungest”rten Zust„nde. D. h. die St”rung verursacht ein Mischen der ungest”rten Zust„nde untereinader. Generell: Je gr”áer die St”rung, desto gr”áer ist die induzierte Kopplung (beschrieben durch das Matrixelement $\langle$ $\psi_{m}^{i}$ | H'| $\psi_{k}^{}$ ) und desto n„her das gest”rte Energienivieau dem ungest”rten liegt desto st„rker mischen die Zust„nde.

Vorgehensweise komplett analog zur nichtentarteten St”rungsrechnung nur in einem Unterraum der gestr”rten Zust„nde.

$\displaystyle \Psi_{kr}^{}$ = $\displaystyle \chi_{kr}^{}$ + $\displaystyle \lambda$ $\displaystyle \psi_{kr}^{(1)}$ + $\displaystyle \lambda^{2}_{}$ $\displaystyle \psi_{kr}^{(2)}$ + ...		Gesamtwellenfunktion	(84)
E_kr = E_k + $\displaystyle \lambda$ E_kr⁽¹⁾ + $\displaystyle \lambda^{2}_{}$ E_kr⁽²⁾ + ...		Energie	(85)
Einsetzen in die Schr”dingergleichung mit			(86)
$\displaystyle \chi_{kr}^{}$ = $\displaystyle \sum_{s=1}^{\alpha}$ c_rs $\displaystyle \psi_{ks}^{}$	r = 1.. $\displaystyle \alpha$	ungest”rte L”sung im Unterraum	(87)
$\displaystyle \psi_{kr}^{(1)}$ = $\displaystyle \sum_{m}^{}$ $\displaystyle \sum_{s}^{}$ a_{kr, ms}⁽¹⁾ $\displaystyle \psi_{ms}^{}$		mit Entwicklung nach der Basis	(88)
$\displaystyle \sum_{s=1}^{\alpha}$ c_rs[ $\displaystyle \langle$ $\displaystyle \psi_{ku}^{}$ \| H'\| $\displaystyle \psi_{ks}^{}$ $\displaystyle \rangle$ - E_kr⁽¹⁾ $\displaystyle \delta_{us}^{}$ ] = 0	u = 1.. $\displaystyle \alpha$	fr k=m	(89)

Gleichungssystem aus $\alpha$ Gleichungen, mit eindeutiger L”sung wenn Determinante = 0.

Aus dieser Rechnung ergibt sich die Bedeutung einer kleinen St”rung : Die nicht-diagonal-Matrix-Elemente des St”roperators H' mssen wesentlich kleiner sein als die zugeh”rigen Energiedifferenzen des ungest”rten Systems.