next up previous contents index
Next: 6.7 Freie Energie und Up: 6. Thermodynamische Potentiale und Previous: 6.5 Groáes Potential   Inhalt   Index

6.6 Gibbs-Duhem-Relation

Die innere Energie ist eine extensive Zustandsgr”pe iene homogene Funktion (skaliert bei Systemvergr”áerung um $ \alpha$ linear mit $ \alpha$). Mit Eulers Theorem

U(S, V, N1,..., Nn) = $\displaystyle \left(\vphantom{ {\partial U \over \partial S }}\right.$$\displaystyle {\partial U \over \partial S}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {\partial U \over \partial S }}\right)_{V,N}^{}$S + $\displaystyle \left(\vphantom{ {\partial U \over \partial V}}\right.$$\displaystyle {\partial U \over \partial V}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {\partial U \over \partial V }}\right)_{S,N}^{}$V + $\displaystyle \sum_{j=1}^{m}$$\displaystyle \left(\vphantom{ {\partial U \over \partial N_j }}\right.$$\displaystyle {\partial U \over \partial N_j}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ {\partial U \over \partial N_j }}\right)_{S,V,N_{j+1}}^{}$Nj (107)

U = TS - pV + $ \sum_{j=1}^{m}$$ \mu_{j}^{}$Nj. Damit ergibt sich fr die freie Entalpie

G = U - TS + pV = $\displaystyle \sum_{j=1}^{m}$$\displaystyle \mu_{j}^{}$Nj (108)

chemisches Potential = freie Enthalpie pro Molekl:

$\displaystyle \mu_{j}^{}$ = $\displaystyle {G \over N_j}$ (109)

Aus einem Vergleich des totalen Differentials der inneren Energie

dU = TdS + SdT - pdV - Vdp + $\displaystyle \sum_{j=1}^{m}$$\displaystyle \left(\vphantom{ \mu_j dN_j + N_j d\mu_j }\right.$$\displaystyle \mu_{j}^{}$dNj + Njd$\displaystyle \mu_{j}^{}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \mu_j dN_j + N_j d\mu_j }\right)$ (110)

gibt die Gibbs-Duhem-Relation

SdT - Vdp + $\displaystyle \sum_{j=1}^{m}$Njd$\displaystyle \mu_{j}^{}$ = 0 (111)


Alexander Wagner
2000-04-15