6.1 Innere Energie U

Fundamentalgleichung

$$\sum_{j=1}^{N} \mu_{j}^{}$$ (86)

Da dU ein vollst„ndiges Differential ist, gilt:

$$\left(\vphantom{ \partial U \over \partial S }\right. \partial \over \partial \left.\vphantom{ \partial U \over \partial S }\right)_{N,V}^{} \left(\vphantom{ \partial U \over \partial V }\right. \partial \over \partial \left.\vphantom{ \partial U \over \partial V }\right)_{S,N}^{} \sum_{j=1}^{N} \left(\vphantom{ \partial U \over \partial N_j }\right. \partial \over \partial \left.\vphantom{ \partial U \over \partial N_j }\right)_{V,S,N_{j+1}}^{}$$ (87)

Das Differential hat die Form: ''intensive Variable x Differential einer extensiven Variablen''. Das gilt nur f�r dU!

Durch Vergleich findet man

$$\left(\vphantom{ {\partial U(S,V) \over \partial V} }\right. {\partial U(S,V) \over \partial V} \left.\vphantom{ {\partial U(S,V) \over \partial V} }\right)_{S}^{}$$ p(S, V) = (88)

$$\left(\vphantom{ {\partial U(S,V) \over \partial S} }\right. {\partial U(S,V) \over \partial S} \left.\vphantom{ {\partial U(S,V) \over \partial S} }\right)_{V}^{}$$ T(S, V) = (89)

Bestimmt man aus der zweiten Gleichung S = S(T, V) ergeben sich durch Einsetzen die thermische bzw. kalorische Zustandsgleichung:

p = p(S, V) = p(S(T, V), V) = p(V, T) (90)

U = U(S, V) = U(S(T, V), V) = U(V, T) (91)

12cm U(S, V) ist eine Funktion von extensiven Variablen, aus der die intensiven Variablen als partielle Ableitungen hervorgehen U(S, V) ist ein thermodynamisches Potential. Die intensiven Variablen bezeichnet man auch als verallgemeinterte Kr„fte, bei U(S, V) spricht man von einer Fundamentalgleichung

Weiterhin gen�gt U(S, V) der Integrabilit„tsbedinung

$${\partial^2 U(S,V) \over \partial U \partial S} {\partial^2 U(S,V) \over \partial S \partial U}$$ (92)

(Satz von Schwarz), so daá man durch geeignetes Partielles Ableiten die Maxwellrelationen erh„lt:

$$\left(\vphantom{ {\partial T \over \partial V}}\right. {\partial T \over \partial V} \left.\vphantom{ {\partial T \over \partial V}}\right)_{S}^{} \left(\vphantom{ {\partial p \over \partial S}}\right. {\partial p \over \partial S} \left.\vphantom{ {\partial p \over \partial S}}\right)_{V}^{}$$ (93)

Anwendung: Abgeschlossene Systeme

Der ''Teilchenzahlterm'' zieht sich bei allen Rechnungen mit, die Maxwellrelationen bleiben aber unver„ndert (d.h. sie gelten bei zus„tzlich konstanter Teilchenzahl). Im Folgenden wird daher auf das mitschleifen des Teilchenzahlterms verzichtet.