6.1 Born'sche N„herung

$$\vec{p}{^\prime} \leftarrow \vec{p}\, \approx \vec{p}{^\prime} \leftarrow \vec{p}\, \bra \vec{p}{^\prime} \ket \vec{p}\,$$ (77)

Damit folgt f�r die Amplitude

$$\vec{p}{^\prime} \leftarrow \vec{p}\, \approx \pi \bra \vec{p}{^\prime} \ket \vec{p}\, {m \over 2 \pi} \int \vec{q}\, \vec{x}\, \vec{x}\,$$ (78)

wobei $\vec{p}\,$ = $\vec{p}{^\prime}$ - $\vec{p}\,$ der Impuls�bertrag ist, d.h.

$$\left(\vphantom{ {\theta \over 2}}\right. {\theta \over 2} \left.\vphantom{ {\theta \over 2}}\right)$$ (79)

• f⁽¹⁾($\vec{p}{^\prime}$ $\leftarrow$ $\vec{p}\,$) ist bis auf einen Faktor die Fouriertransformierte des Potentials

• F�r ein sph„risch symmetrisches Potential findet man

  $$\vec{p}{^\prime} \leftarrow \vec{p}\, \int_{0}^{\infty} {\sin(q r) \over qr}$$ (80)

• Vorw„rtsamplitude: f�r $\vec{p}{^\prime}$ = $\vec{p}\,$$\folgt$$\vec{q}\,$ = 0 und damit

  $$\vec{p}{^\prime} \leftarrow \vec{p}\, \int_{0}^{\infty}$$ (81)

• Vorw„rtspeak: wegen q = 2psin$\left(\vphantom{ \halbe{\theta}}\right.$ findet man bei hohen Energien einen starken Peak des Wirkungsquerschnitts in Vorw„rtsrichtng = 0.

• In Vorw„rtsrichtung ist der Wirkungsquerschnitt von der Energie unabh„nig und konstant.

• Die Bornsche N„herung verletzt die Unitarit„t. Dies folgt aus dem optischen Theorem

  $$\Im \left(\vphantom{ f(\vec{p} \leftarrow \vec{p})}\right. \vec{p}\, \leftarrow \vec{p}\, \left.\vphantom{ f(\vec{p} \leftarrow \vec{p})}\right) {p \over 4 \pi} \int \Omega$$ (82)

  nach dem die Vorw„rtsamplitude einen Imagin„rteil haben muá. Die Amplitude ist aber f�r = 0 rein reell. Da das Optische Theorem nur aus der Unitarit„t von S hergeleitet wird die Bornsche N„herung verletzt diese.

• Als grobe Absch„tzung der G�te der Bornschen N„herung kann man den Quotienten aus zweitem und erstem Glied der Bornschen Reihe benutzen. Dieser sollte klein sein. Allerdings gibt das kein genaues Maá f�r die G�te, da die Terme nicht monoton sein m�ssen.