1. Definitionen

• Alle Zust„nde eines Teilchens werden durch Wellenfunktionen $\psi$($\vec{x}\,$) beschrieben
• Jede Wellenfunktion kann als angabe der Koordinanten eines unendlichdimensionalen Zustandsvektors |$\psi$$\rangle$ aufgefaát werden
• Alle Zustandsvektoren eines Teilchens formen einen linearen Vektorraum, in dem eine Norm definiert ist. Sie bilden einen Hilbertraum
• Der Quantenmechanische Hilbertraum hat folgende Eigenschaften
  • Abz„hlbare Orthonormalbasis

    $$\langle \rangle \delta_{n'n}^{}$$ (1)

  • Jeder Zustandsvektor kann in dieser Basis dargestellt werden:

    $$\psi \rangle \sum_{n}^{} \psi_{n}^{} \rangle$$ (2)

  • Die Entwicklungskoeffizienten $\psi_{n}^{}$ kann man als Koordinanten von |$\psi$$\rangle$ auffassen, sie sind gegeben durch:

    $$\psi_{n}^{} \langle \psi \rangle$$ (3)

• Quantenmechanische Observable sind durch hermitesche Operatoren gegeben.
• Manche Eigenvektoren der Observablen formen eine Orthonormalbaseis, viele aber nicht. Z. B. haben die der Orts- und Impulsoperators eines freien, spinlosen Teilchens X und P sowie dessen Hamiltonoperator H⁰ = ${P^2 \over 2m}$ �berhaupt keine Eigenzust„nde im eigentlichen Sinn.
• Eine passende Verallgemeinerung der Basis aus Eigenzust„nden ist das Spektrum.
• Jeder selbstadjungierte Operator hat ein Spektrum
• Z. B. normiert man den Ortsoperator eines freien Teilchens

  $$\langle \rangle \delta_{3}^{}$$ (4)

  Die Wellenfunktion ist dann gegeben durch

  $$\psi \rangle \int \psi \rangle$$ (5)

  mit den Entwicklungskoeffizienten $\psi$(x) = $\langle$x|$\psi$$\rangle$. Formalismus von Dirac
• Wichtig: Nur wirkliche Eigenvektoren, also Eigenvektoren als Basis eines Hilbertraumes beschreiben einen physikalischen Zustand. Die uneigentlichen Eigenvektoren (p, x) dienen nur dazu daá man wirkliche Eigenzust„nde nach ihnen entwickeln kann. Einige Aussagen die f�r wahre Eigenvektroen zutreffen sind f�r die uneigentlichen Vektoren falsch. Z. B. die gilt die zentrale Aussage der Streutheorie, daá sich jeder Vektor, der eine Streuung beschreibt lange vor und lange nach der Streuung wie ein freies Teilchen verh„lt nur f�r wirkliche Eigenvektoren.
• Ein Unterraum eines Hilbertraumes ist ein Raum der selbst die Eigenschaften eines Hilbertraumes hat. Z. B. bilden alle Vektoren, die einen Energieeigenzustand E repr„sentieren einen solchen Unterraum
• Das orthogonale Komplement S^$\perp$ eines Unterraumes S wird von allen auf die Vektoren aufgespannt, die orthogonal zur Basis von S sind. Das orthogonale Komplement ist selbst ein Unterraum. Z. B. wird der Hilbertraum der Streutheorie aus den beiden Unterr„umen der gebundenen Zust„nde B und der gestreuten Zust„nde R aufgebaut. Der Hilbertraum selbst ist �ber ihre direkte Summe definiert, als H = B $\oplus$ R
• Linearer Operator: Ein linearer Operator A aus dem Raum H ordnet jedem Vektor |$\psi$$\rangle$ in H eindeutig einen Vektor A|$\psi$$\rangle$ so zu, daá A(a|$\psi$$\rangle$ + b|$\phi$$\rangle$) = aA|$\psi$$\rangle$ + bA|$\phi$$\rangle$ + ^... f�r jedes a, b $\in$ C
• Wenn ein linearer Operator A zwei verschiedene Vektoren auf einen abbildet hat A gibt es zu A keinen inversen Operator.
• Als Dom„ne (Domain) von A (D(A)) bezeichnet man diejenigen Vektoren auf denen A definiert ist (= Definitionsmenge)
• Als Bereich (Range) von A (R(A)) bezeichnet man diejenigen Vektoren auf die A abbildet (= Wertebereich)
• Unit„rer Operator: Ein Unit„rer Operator U ist ein linearer Operator in H, der alle Elemente von H auf alle Elemente von H abbildet und dabei die Norm erh„lt. Es gilt also D(U) = H = R(U) und || U$\psi$|| = ||$\psi$||$\forall$|$\psi$$\rangle$

  Beispiel: Der Zeitentwicklungsoperator U(t) = e^-iHt

• Unit„re Operatoren haben eine inverse
• F�r unit„re Operatoren gilt U^$\dagger$U = 1.
• Die Definition des Unit„ren Operators ist „quivaltent zu U^$\dagger$U = UU^$\dagger$ = 1. Es sind beide Bedinugnen notwendig, ein Operator der nur $\Omega^{\dagger}_{}$$\Omega$ = 1 erf�llt muá nicht unit„r sein!
• Isometrischer Operator: Ein isometrischer Operator in H ist ein linearer Operator $\Omega$, der auf dem gesamten H definiert ist und die Norm erh„lt, also D($\Omega$) = H und ||$\Omega$$\psi$|| = ||$\psi$||$\forall$|$\psi$$\rangle$.
  
  
• Die Bedingung $\Omega^{\dagger}_{}$$\Omega$ = 1 bedeutet, daá orthogonale Vektoren auf orthogonale Vektoren abgebildet werden.
• Konvergenz: Ein Vektor |$\psi$$\rangle$ konvergiert gegen einen Vektor |$\psi_{t}^{}$$\rangle$ dann und nur dann wenn

  $$\psi_{t}^{} \psi \rightarrow \rightarrow \infty$$ (6)

  D. h. man kann wenn man t groá genug mach erreichen, daá die Differenz zwischen $\langle$$\phi$|$\psi$$\rangle$ und $\langle$$\phi$|$\psi_{t}^{}$$\rangle$ kleiner als eine beliebige Gr”áe $\epsilon$ wird. Diesen Test zur Konvergenz bezeichnet man als Cauchy Test.
• Konvergenz eines Operators:

  $$\psi \rangle \rightarrow \phi \rangle \psi \rangle \rightarrow \infty$$ (7)

• Der Grenzwert eines Unit„ren Operators muá nicht unit„r sein!

• Ist der Hamiltonoperator eines Systems zeitunabh„ngig ist die Energie erhalten.