6.4 Ising Ferromagnet S. 210

• Zurückführen thermischer Eigenschaften auf die Berechnung der Zustandssumme
  

  $$Z = \sum_{\underline{S}} e^{-{H(\underline{S}) \over k_B T}}$$ (6.1)

  
  
  d. h. Z ist Summe aller möglichen Vielteilchenzustände $\underline{S}$ wobei jeder Zustand entsprechend seiner Energie $H(\underline{S})$ gewichtet wird. T: Temperatur, k_B: Boltzmann-Konstante

• Ising-Modell: Einfaches Quadratgitter auf dessen Gitterplätzen Spins mit zwei Einstellmöglichkeiten sitzen, von denen benachbarte Spins miteinander wechselwirken.

• mathematische Darstellung:
  • Gitterplatz: $i = 1,\ldots,N$
  • Spinzustand: $S \in \{+1,-1\}$
  • Vielteilchenzustand: $\underline{S}=(S_1, S_2, \ldots, S_N)$
  • Nachbarpaare: (i,j)_nn
  • Paar-Wechselwirkungsenergie: -J < 0
  • Magnetfeld (äußeres): h; feldparallele Spins haben die Energie -h < 0
  • Gesamtenergie:
    

    $$H = -J \sum_{(i,j)_{nn}} S_i S_j - h \sum_i S_i$$ (6.2)

    
    

• Problem: Berechnung der Zustandssumme benötigt bei N Spins 2N 2^N Berechnungen auf Superrechnern wäre maximal etwa ein 3x3x3-Magnet zu berechnen.

• Idee: Benutze nur einige wenige Zustände $\underline{S}=(S_1, S_2, \ldots, S_N)$ zur Berechnung der Zustandssumme funktioniert nicht, da zufällig erzeugte Zustände nach dem zentralen Grenzwersatz eine Energie $H \approx 0 + \Order(\sqrt{N})$ haben, die physikalisch relevanten Zustände aber Energien der Größenordnung $\Order(N)$ physikalisch relevante Zustände werden so nicht erzeugt.

• Erzeugung physikalisch relevanter Zustände:
  • Starte mit Grundkonfiguration $\underline{S}(t=0)$
  • erzeuge eine Folge $\underline{S}(t), \underline{S}(2), \ldots, \underline{S}(t)$, die ins thermische Gleichgewicht relaxiert
  • Definiere übergangswahrscheinlichkeit $W(\underline{S} \rightarrow \underline{S'})$
  • fordere für die übergangswahrscheinlichkeit detailliertes Gleichgewicht , d. h.
    

    $$W(\underline{S} \rightarrow \underline{S'}) e^{-{H(\underl... ...ghtarrow \underline{S}) e^{-{H(\underline{S'}) \over k_B T}}$$ (6.3)

    
    

    Dies folgt aus der Forderung eines stationären Zustandes für das thermische Gleichgewicht, da
    

    $$P(\underline{S}) = {1 \over Z} e^{-{H(S) \over k_B T}}$$ (6.4)

    
    
    die Wahrscheinlichkeit ist, den Zustand $\underline{S}$ vorzufinden. Die Besetzungswahrscheinlichkeit $P(\underline{S})$ ändert sich zeitlich nicht (mathematische Beschreibung über Mastergleichung, die genau das besagt)