2.1.1 Physik

• Mathematisches Pendel
• Energieerhaltung liefert Bewegungsgleichung:
  

  $$\underbrace{ \einhalb m l^2 \dot{\phi}^2}_{E_{kin}} - \und... ...s(\phi)}_{E_{pot}} = - \underbrace{m g l \cos(\phi_0)}_{E_0}$$ (2.1)

  
  

• Bestimmung von $\phi(t)$
  • Auflösen nach $\dot{\phi}^2$
  • Auflösen nach dt
  • Integrieren
  Man findet:
  

  $$dt = \sqrt{l \over 2g} {d\phi \over \sqrt{\cos(\phi) - \cos(\phi_0)}}$$ (2.2)

  $$t(\phi) = \sqrt{{l \over 2g}} \int_0^\phi {d\phi' \over \sqrt{\cos(\phi') - \cos(\phi_0)}}$$ (2.3)

  
  
  (mit $\phi(0) = 0$ und $\dot{\phi}(0) > 0$)
• Divergenz des Integranden: Substitution
  

  $$\sin(\psi) = {\sin(\einhalb{\phi}) \over \sin(\einhalb(\phi_0))}$$ (2.4)

  
  
  Man findet damit folgendes:
  

  $$\sin(\psi) {\sin\left(\halbe{\phi}\right) \over \sin\left( \halbe{\phi_0}\right)}$$ = (2.5)

  $$\folgt \psi \arcsin\left( {\sin\left( \halbe{\phi}\right) \over \sin\left( \halbe{\phi_0}\right)}\right)$$ = (2.6)

  
  
  Differential transformieren!
  

  $${d\psi \over d\phi} {1 \over \sqrt{1-{\sin^2\left( \halbe{\phi}\right) \over \sin^2\l... ...\cos\left( \halbe{\phi}\right) \over \sin\left( \halbe{\phi_0}\right)} \einhalb$$ = (2.7)

  $$\einhalb \sqrt{ {\cos^2\left( \halbe{\phi}\right)} \over \underbr... ...0))} - \underbrace{\sin^2\left( \halbe{\phi}\right)}_{\einhalb (1-\cos(\phi))}}$$ = (2.8)

  $${1 \over \sqrt{2}} \sqrt{{ \overbrace{\cos^2\left(\halbe{\phi}\right)}^{1-\sin^2\left( \halbe{\phi}\right)} \over \cos(\phi) - \cos(\phi_0)}}$$ = (2.9)

  
  
  damit folgt
  

  $${d\phi \over \sqrt{\cos(\phi) - \cos(\phi_0}} \sqrt{2 \over 1-\sin^2\left( \halbe{\phi}\right)}$$ = (2.10)

  $$\folgt t(\phi) \sqrt{l \over g} \int_0^\psi \sqrt{2 \over 1-\sin^2\left( \halbe{\phi}\right)}$$ = (2.11)

  $$\sqrt{l \over g} \int_0^\phi{{d \psi \over \sqrt{1-\sin^2\left( \halbe{\phi_0} \sin^2(\psi)\right)}}}$$ = (2.12)

  
  

• Umschreiben auf Elliptisches Integral $F\left(\psi, {\sin(\phi_0) \over 2}\right)$:
  

  $$t(\phi) = \sqrt{{l \over g}} \int_0^\psi {d\psi' \over \sq... ...sqrt{{l \over g}} F\left(\psi, {\sin(\phi_0) \over 2}\right)$$ (2.13)

  
  

• Schwingungsdauer: $T = 4 t(\phi_0)$
  

  $$T = 4 \sqrt{{l \over g}} F \left( {\einhalb{\pi}, \sin\left... ...= 4 \sqrt{{l \over g}} K\left( \sin(\einhalb{\phi_0})\right)$$ (2.14)

  
  
  $K\left(\sin \left(\einhalb{\phi_0}\right) \right)$ Vollständiges elliptisches Integral erster Art
• Maß für die Nichtlinearität: $\sin^2\left({\phi_0 \over 2}\right)$
• Umkehrfunktionen der Elliptischen Integrale: Jacobi Amplitude

• Ergebnisse:

  1.

  mit wachsendem $\phi_0$ zunächst schwache Abweichung von der harmonischen Schwingung

• ist $\phi_0 > 90\grad$ $T \uparrow$
• $\phi_0 \rightarrow 180\grad$ Divergenz von T, das Pendel braucht eine unendlich lange Zeit um im oberen Umschlagpunkt zum Stillstand zu kommen
• skalierte Amplitude : bei kleinem $\phi_0$ Sinusschwingung, $\phi_0 \rightarrow \pi$ $\rightarrow$ Stufenfunktion
• Fourierentwicklung: