4.1.3 Feigenbaumdiagramm

• Durchlaufe für jeden r-Wert die Iteration bei bestimmtem, festgelegten x (das kein Fixpunkt ist) 1000 mal.
• Nach 100 Iterationen zeichne den ersten Punkt beim erzielten x-Wert, sodann einen Punkt bei jedem weiteren erzielten x.
• Die Entstehenden Linien zeigen den jeweiligen Attraktor.
• Jeder x-Wert läuft nach ca. 100 Iterationen auf einen dieser Attraktoren zu, d.h. der Eingangswert x für die ersten 100 Iterationen ist irrelevant.
• An Gabelungen (Bifurkationen) springt der x-Wert der als Ergebnis der Iteration erzielt wird zwischen zwei Punkten hin und her, bei 4-fachen Attraktoren zwischen 4 Punkten usf.
• Im chaotischen Bereich springt das Ergebnis der Iteration über den ganzen Bereich.
• An chaotische Bereiche schließen sich solche mit definierten Attraktoren an Fenster

• Man findet, daß neben Perioden 2, 4, 8 etc. auch 3, 6, 12 usw. in den Fenstern vorkommen, und man kann zeigen, daß in der Tat alle Perioden existieren.

• In den chaotischen Bereichen unterhalb eines stabilen Zyklus findet man in der Häufigkeitsverteilung der Werte in bestimmten intervallen (Kanalplot) bereits deutlich die Spitzen des nächsten stabilen Zyklus.

• Geometrische Konstruktion der Zyklen:
  • Zeichne Parabel
  • vom Startwert auf der Parabel ausgehend zeichne man eine horizontale bis zur Winkelhalbierenden
  • von der Winkelhalbierenden senkrecht zur Parabel nächster Punkt der Iteration
  • von dort aus zurück zur Winkelhalbierenden
  • und wieder senkrecht zur Parabel nächster Punkt
  Bei einem superstabilen n Zyklus bilden sich die Punkte nach n Wiederholungen der Prozedur exakt aufeinander ab. Chaotische Bereiche erkennt man daran, daß die Prozedur breite Bänder liefert.

Beachte: