3.4.1 Physik

Prinzip: Spektrum der Kristallelektronen im homogenen magnetischen Feld, d. h. Auftragung der Energie des Elektrons gegen die Magnetfeldstärke

• Tight-Binding-Näherung: Elektronen sitzen auf quadratischem Gitter fest an die Atome gebunden. Hüpfmatrixelemente beschreiben ihre Bewegung von Atom zu Atom (= Gitterplatz zu Gitterplatz)

• Energieeigenwerte:
  

  $$\varepsilon(\vec{k}) = \varepsilon_0 (\cos(k_x a) + \cos(k_y a))$$ (3.27)

  
  

• Peierls Trick: Berücksichtigung des Magnetfeldes durch Substitution
  

  $$\hbar \vec{k} \longrightarrow \vec{p} + {e \over c} \vec{A}$$ (3.28)

  
  
  wo $\vec{p}$ der Impulsoperator und $\vec{A}$ das Vektorpotential sind

• Sei $\vec{B} \perp (x,y)$-Ebene Wahl von $\vec{A} = (0, x B, 0)$

• Schrödingergleichung
  

  $$\left[ \varepsilon_0 \cos\left( {a p_x \over \hbar} \right)... ...e x B \over \hbar c} \right) \right] \phi(x,y) = E \phi(x,y)$$ (3.29)

  
  

• Moivresche Formel: $\cos(\alpha) = \einhalb \left( e^{i\alpha} + e^{-i\alpha}\right)$
• Translationsoperator: $e^{ia p_x \over \hbar}$ (verschiebt in Richtung p_x um a)

• Umschreiben der Schrödingergleichung
  

  $$\einhalb \varepsilon_0 \left[ \phi(x+a, y) + \phi(x-a, y) ... ...-i a e x B \over \hbar c} \phi(x, y-a) \right] = E \phi(x,y)$$ (3.30)

  
  

• Ansatz: Für die y-Abhängigkeit Ebene Wellen
  

  $$\phi(x,y) = e^{i \nu y \over a} \psi({x \over a})$$ (3.31)

  
  

• Definition: dimensionslose Variablen
  
  

• Harper-Gleichung
  

  $$\psi_{m-1} + 2 \cos(2 \pi m \sigma + \nu) \psi_m + \psi_{m+1} = E \psi_m$$ (3.32)

  
  
  Beachte: Messung der Energie in Einheiten von $\halbe{\varepsilon_0}$

  Beachte: Entspricht der Abbildung eines 2D-Gitterelektrons auf ein Teilchen, daß auf einer Kette im periodischen Cosinus-Potential springt. Dabei ist $\nu$ (= Impuls in y-Richtung) die Phase des Potentials, und $\sigma$ das Verhältnis von Periodenlänge zu Gitterkonstante (=1 in m-Variablen)

• Harper-Gleichung in Matrixform:
  

  $$\left( \begin{array}{c} \psi_{m+1} \\ \psi_m \end{arra... ...\begin{array}{c} \psi_m \\ \psi_{m-1} \end{array} \right)$$ (3.33)

  
  

• physikalische Bedinung an die Wellenfunktionen: gebundener Zustand

• Die Matrizen M(m,E) sind periodisch Lange Produkte dieser Matrizen bestehen im wesentlichen aus einem sich wiederholenden Block dieser Matrizen, dessen Länge der Periode m entspricht

• Seien die Matrizen Periodisch in m mit der Periode q es existiert eine ganze Zahl p so daß
  

  $$2 \pi \sigma (m+q) - \nu = 2 \pi \sigma m - \nu + 2 \pi p$$ (3.34)

  
  
  und damit für $\sigma$
  

  $$\sigma = {p \over q}$$ (3.35)

  
  

• Das Produkt von q M-Matrizen sei M_q

• Mit dem Bloch-Theorem $\psi_{m+q} = e^{ikq} \psi_m$ und
  

  $$\underbrace{\prod_{r=1}^q M_1(q-r, E)}_{M_q(E)} \left( \b... ... \begin{array}{c} \psi_0 \\ \psi_{-1} \end{array} \right)$$ (3.36)

  
  
  folgt, daß e^ikq Eigenwert von M_q(E) ist.

• Da $\Det{M_q} = 1$ ergibt sich der zweie Eigenwert zu e^-ikq und damit mit Moivrescher Formel für den Cosinus
  

  $$\Tr M_q(E) = 2 \cos(kq)$$ (3.37)

  
  

• Da die Spur der Matrix eine Gleichung q-ter Ordnung liefert, existieren höchstens q reelle Lösungen $E(k,\nu)$ maximal q Energiebänder.

• für $q \rightarrow \infty$ ($\sigma$ irrational) Spektrum mit beliebig vielen Energiebändern