3.1 Quantenoszillator (S. 51)

Beachte: Schrödingergleichung ist linear

Numerische Lösungswege für die stationäre Schrödingergleichung:

• Diskretisierung der linearen Differentialgleichung und Lösung des entstehenden endlichen Eigenwertproblems
• Entwicklung in einen vollständigen Satz von Eigenfunktionen und Betrachtung endlich vieler

Beide Wege führen auf die Lösung endlicher Eigenwertgleichungen (d. h. mit endlicher Matrix)

• Potential
  

  $$V(q) = \einhalb m \omega^2 q^2$$ (3.1)

  
  
  q: Ortskoordinate des Teilchens, $\omega = \sqrt{k \over m}$, mit $\omega$ = Grundfrequenz

• Hamilton-Operator:
  

  $$H_0 = T + V = \einhalb (p^2 + q^2)$$ (3.2)

  
  

  (dimensionslose Form, d.h. Energie in Einheiten von $\hbar \omega$, Impuls in Einheiten von $\sqrt{\hbar m \omega}$, Längen in Einheiten von $\sqrt{{\hbar \over m \omega}}$)

• Eigenzustände
  

  $$\vert j\rangle = {1 \over \sqrt{2^j j! \sqrt{\pi}}} e^{-\einhalb q^2} H_j(q)$$ (3.3)

  
  
  H_j(q): Hermitepolynome

• Energieeigenwerte
  

  $$H_0 \vert j\rangle = \epsilon^0_j \ket{j}$$ (3.4)

  
  
  wobei $\epsilon^0_j = j + \einhalb$ mit $j=0,1,2\cdots$

• Wegen der Nichtentartung muß die Matrix $\bra{j}H_0\ket{k}$ diagonal sein. (Bei entarteten Eigenzuständen muß die Matrix nicht diagonal sein, ist aber natürlich durch die Eigenwerte diagonalisierbar. )

• Hamilton-Operator mit Störung (anharmonisches Potential)
  

  $$H = H_0 + \lambda q^4$$ (3.5)

  
  
  gesucht ist jetzt jHk

• Schreibe mit Erzeuger und Vernichter
  

  $$q = {1 \over \sqrt{2}} (a^\dagger + a)$$ (3.6)

  
  

  Mit den Eigenschaften:
  

  $$a^\dagger \ket{j} = \sqrt{j+1}\ \ket{j+1}$$ (3.7)

  $$a \ket{0} = 0$$ (3.8)

  $$a \ket{j} = \sqrt{j}\ \ket{j-1}\ \ \mbox{f\uml {u}r $j >0$}$$ (3.9)

  
  

  Ein q⁴-Term wie oben mischt wegen $q = \einhalb (a^\dagger + a) \folgt q^4 \propto (a^\dagger + a)^4$ den Eigenzustand n mit den Zuständen bis $n\pm 4$.

• q im Raum der ungestörten Zustände:
  

  $$Q_{jk} = \bra{j} q \ket{k} ={1 \over \sqrt{2}} \sqrt{k+1} ... ...lta_{j,k-1} = \einhalb \sqrt{j+k+1} \delta_{\vert k-j\vert,1}$$ (3.10)

  
  
  da:
  

  $$\sqrt{\einhalb}\langle j \vert a^\dagger + a \vert k \rangle \sqrt{k+1 \over 2} \langle j \vert k+1 \rangle + \sqrt{k \over 2} \langle j \vert k-1 \rangle$$ = (3.11)

  $$\sqrt{k+1 \over 2} \delta_{j,k+1} + \sqrt{k \over 2} \delta_{j,k-1}$$ = (3.12)

  
  

• Näherung: Betrachte Q_jk in endlicher Dimension n. H₀ sei eine n x n Diagonalmatrix mit den Elementen $j+\einhalb$, q⁴ durch vierfache Matrixmultiplikation mit sich selbst dargestellt.

Aus der Hamilton-Matrix lassen sich nun die Eigenwerte bestimmen. Die Störung q⁴ verknüpft dabei Zustände j mit den Zuständen j4 (s. Definition von q über Leiteroperatoren) für die Näherung sollten mindestens die Matrixelemente jq⁴j4 in der Hamiltonmatrix enthalten sein, um $\epsilon_j$ einigermaßen genau berechnen zu können. Plottet man Die Energie als Funktion des Parameters $\lambda$ z. B. für eine 4x4 Hamiltonmatrix, so sieht man deutlich, daß die höheren Eigenwerte (j = 3, 4)für größere $\lambda$ sich deutlich von den niederen Eigenwerten (j = 1, 2) entfernen, obwohl man bei kleinen $\lambda$ noch sehr gut den harmonischen Oszillator reproduziert.

Fehlerabschätzung: Erhält man, wenn man die Eigenwerte für unterschiedliche Dimensionen der Matrix bei gleichem j vergleicht. So findet man in diesem Beispiel für $\epsilon_0(n=20)$ und $\epsilon_0(n=40)$ eine übereinstimmung in 9 signifikanten Stellen, für $\epsilon_{10}$ für die beiden n-Werte aber nur noch 3 signifikante Stellen.

für genaue Rechnungen bei hohen Energieeigenwerten muß man Eigenwerte großer Matrizen berechnen.